Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53797 / 13819
↖ ↑ ↗
← N 80.417994°
W 32.242126°		 ← 50.83 m → N 80.417994°
W 32.239380°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.417537°
W 32.242126°		 ← 50.83 m →
2 584 m²		 N 80.417537°
W 32.239380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410442352294922 y=0.105434417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410442352294922 × 217)
    floor (0.410442352294922 × 131072)
    floor (53797.5)     		tx = 53797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105434417724609 × 217)
    floor (0.105434417724609 × 131072)
    floor (13819.5)     		ty = 13819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53797 / 13819 ti = "17/53797/13819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53797/13819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53797 ÷ 217
    53797 ÷ 131072     		x = 0.410438537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13819 ÷ 217
    13819 ÷ 131072     		y = 0.105430603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410438537597656 × 2 - 1) × π
    -0.179122924804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.56273126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105430603027344 × 2 - 1) × π
    0.789138793945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.47915263765044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56273126} λ = -0.56273126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47915263765044))-π/2
    2×atan(11.9311501258156)-π/2
    2×1.48717754719508-π/2
    2.97435509439017-1.57079632675     		φ = 1.40355877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56273126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.242126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40355877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.417994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53797 KachelY 13819 -0.56273126 1.40355877 -32.242126 80.417994
    Oben rechts KachelX + 1 53798 KachelY 13819 -0.56268333 1.40355877 -32.239380 80.417994
    Unten links KachelX 53797 KachelY + 1 13820 -0.56273126 1.40355079 -32.242126 80.417537
    Unten rechts KachelX + 1 53798 KachelY + 1 13820 -0.56268333 1.40355079 -32.239380 80.417537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40355877-1.40355079) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dl = 50.8405800008254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40355877-1.40355079) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dr = 50.8405800008254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56273126--0.56268333) × cos(1.40355877) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.166459085064691 × 6371000     		do = 50.8302841272102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56273126--0.56268333) × cos(1.40355079) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.166466953725323 × 6371000     		du = 50.8326869173942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40355877)-sin(1.40355079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166459085064691-0.166466953725323)×R²
    abs(-0.56268333--0.56273126)×7.86866063193226e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.86866063193226e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.86866063193226e-06×40589641000000     		ar = 2584.30220638642m²