Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53796 / 27165
↖ ↑ ↗
← N 29.396534°
E115.510254°		 ← 532.14 m → N 29.396534°
E115.515747°		 →
↑
532.17 m
↓
↑
532.17 m
↓
N 29.391748°
E115.510254°		 ← 532.17 m →
283 198 m²		 N 29.391748°
E115.515747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820869445800781 y=0.414512634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820869445800781 × 216)
    floor (0.820869445800781 × 65536)
    floor (53796.5)     		tx = 53796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414512634277344 × 216)
    floor (0.414512634277344 × 65536)
    floor (27165.5)     		ty = 27165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53796 / 27165 ti = "16/53796/27165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53796/27165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53796 ÷ 216
    53796 ÷ 65536     		x = 0.82086181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27165 ÷ 216
    27165 ÷ 65536     		y = 0.414505004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82086181640625 × 2 - 1) × π
    0.6417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01603425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414505004882812 × 2 - 1) × π
    0.170989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.537180897142349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01603425} λ = 2.01603425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.537180897142349))-π/2
    2×atan(1.71117607477854)-π/2
    2×1.04193131460146-π/2
    2.08386262920291-1.57079632675     		φ = 0.51306630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01603425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51306630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.396534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53796 KachelY 27165 2.01603425 0.51306630 115.510254 29.396534
    Oben rechts KachelX + 1 53797 KachelY 27165 2.01613012 0.51306630 115.515747 29.396534
    Unten links KachelX 53796 KachelY + 1 27166 2.01603425 0.51298277 115.510254 29.391748
    Unten rechts KachelX + 1 53797 KachelY + 1 27166 2.01613012 0.51298277 115.515747 29.391748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51306630-0.51298277) × R
    8.35299999999428e-05 × 6371000     		dl = 532.169629999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51306630-0.51298277) × R
    8.35299999999428e-05 × 6371000     		dr = 532.169629999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01603425-2.01613012) × cos(0.51306630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871243509245211 × 6371000     		do = 532.144880138845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01603425-2.01613012) × cos(0.51298277) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87128450699344 × 6371000     		du = 532.169921062061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51306630)-sin(0.51298277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871243509245211-0.87128450699344)×R²
    abs(2.01613012-2.01603425)×4.09977482281887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09977482281887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09977482281887e-05×40589641000000     		ar = 283198.007143649m²