Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53796 / 13822
↖ ↑ ↗
← N 80.416622°
W 32.244873°		 ← 50.85 m → N 80.416622°
W 32.242126°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.416165°
W 32.244873°		 ← 50.85 m →
2 585 m²		 N 80.416165°
W 32.242126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410434722900391 y=0.105457305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410434722900391 × 217)
    floor (0.410434722900391 × 131072)
    floor (53796.5)     		tx = 53796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105457305908203 × 217)
    floor (0.105457305908203 × 131072)
    floor (13822.5)     		ty = 13822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53796 / 13822 ti = "17/53796/13822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53796/13822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53796 ÷ 217
    53796 ÷ 131072     		x = 0.410430908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13822 ÷ 217
    13822 ÷ 131072     		y = 0.105453491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.17913818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56277920
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105453491210938 × 2 - 1) × π
    0.789093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47900882695158
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56277920} λ = -0.56277920}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47900882695158))-π/2
    2×atan(11.9294344221491)-π/2
    2×1.48716557704755-π/2
    2.9743311540951-1.57079632675     		φ = 1.40353483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56277920} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.244873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40353483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.416622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53796 KachelY 13822 -0.56277920 1.40353483 -32.244873 80.416622
    Oben rechts KachelX + 1 53797 KachelY 13822 -0.56273126 1.40353483 -32.242126 80.416622
    Unten links KachelX 53796 KachelY + 1 13823 -0.56277920 1.40352685 -32.244873 80.416165
    Unten rechts KachelX + 1 53797 KachelY + 1 13823 -0.56273126 1.40352685 -32.242126 80.416165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40353483-1.40352685) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dl = 50.8405799994107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40353483-1.40352685) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dr = 50.8405799994107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56277920--0.56273126) × cos(1.40353483) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.166482691014784 × 6371000     		do = 50.8480991004663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56277920--0.56273126) × cos(1.40352685) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.166490559643613 × 6371000     		du = 50.8505023822489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40353483)-sin(1.40352685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166482691014784-0.166490559643613)×R²
    abs(-0.56273126--0.56277920)×7.86862882817818e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.86862882817818e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.86862882817818e-06×40589641000000     		ar = 2585.2079423792m²