Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53794 / 20920
↖ ↑ ↗
← N 54.393352°
E115.499267°		 ← 355.65 m → N 54.393352°
E115.504761°		 →
↑
355.63 m
↓
↑
355.63 m
↓
N 54.390154°
E115.499267°		 ← 355.68 m →
126 484 m²		 N 54.390154°
E115.504761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820838928222656 y=0.319221496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820838928222656 × 216)
    floor (0.820838928222656 × 65536)
    floor (53794.5)     		tx = 53794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319221496582031 × 216)
    floor (0.319221496582031 × 65536)
    floor (20920.5)     		ty = 20920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53794 / 20920 ti = "16/53794/20920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53794/20920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53794 ÷ 216
    53794 ÷ 65536     		x = 0.820831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20920 ÷ 216
    20920 ÷ 65536     		y = 0.3192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820831298828125 × 2 - 1) × π
    0.64166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01584250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3192138671875 × 2 - 1) × π
    0.361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13591277339685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01584250} λ = 2.01584250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13591277339685))-π/2
    2×atan(3.11401463578782)-π/2
    2×1.26006970713954-π/2
    2.52013941427908-1.57079632675     		φ = 0.94934309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01584250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.499267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94934309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.393352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53794 KachelY 20920 2.01584250 0.94934309 115.499267 54.393352
    Oben rechts KachelX + 1 53795 KachelY 20920 2.01593838 0.94934309 115.504761 54.393352
    Unten links KachelX 53794 KachelY + 1 20921 2.01584250 0.94928727 115.499267 54.390154
    Unten rechts KachelX + 1 53795 KachelY + 1 20921 2.01593838 0.94928727 115.504761 54.390154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94934309-0.94928727) × R
    5.58199999999287e-05 × 6371000     		dl = 355.629219999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94934309-0.94928727) × R
    5.58199999999287e-05 × 6371000     		dr = 355.629219999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01584250-2.01593838) × cos(0.94934309) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.582217304697639 × 6371000     		do = 355.648302255931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01584250-2.01593838) × cos(0.94928727) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.582262687304668 × 6371000     		du = 355.6760242886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94934309)-sin(0.94928727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582217304697639-0.582262687304668)×R²
    abs(2.01593838-2.01584250)×4.53826070289098e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.53826070289098e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.53826070289098e-05×40589641000000     		ar = 126483.857740857m²