Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53794 / 13855
↖ ↑ ↗
← N 80.401521°
W 32.250366°		 ← 50.93 m → N 80.401521°
W 32.247620°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.401063°
W 32.250366°		 ← 50.93 m →
2 592 m²		 N 80.401063°
W 32.247620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410419464111328 y=0.105709075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410419464111328 × 217)
    floor (0.410419464111328 × 131072)
    floor (53794.5)     		tx = 53794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105709075927734 × 217)
    floor (0.105709075927734 × 131072)
    floor (13855.5)     		ty = 13855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53794 / 13855 ti = "17/53794/13855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53794/13855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53794 ÷ 217
    53794 ÷ 131072     		x = 0.410415649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13855 ÷ 217
    13855 ÷ 131072     		y = 0.105705261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410415649414062 × 2 - 1) × π
    -0.179168701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56287508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105705261230469 × 2 - 1) × π
    0.788589477539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.47742690926412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56287508} λ = -0.56287508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47742690926412))-π/2
    2×atan(11.9105779574551)-π/2
    2×1.48703379333608-π/2
    2.97406758667216-1.57079632675     		φ = 1.40327126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56287508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.250366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40327126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.401521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53794 KachelY 13855 -0.56287508 1.40327126 -32.250366 80.401521
    Oben rechts KachelX + 1 53795 KachelY 13855 -0.56282714 1.40327126 -32.247620 80.401521
    Unten links KachelX 53794 KachelY + 1 13856 -0.56287508 1.40326327 -32.250366 80.401063
    Unten rechts KachelX + 1 53795 KachelY + 1 13856 -0.56282714 1.40326327 -32.247620 80.401063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40327126-1.40326327) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dl = 50.9042899990235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40327126-1.40326327) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dr = 50.9042899990235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56287508--0.56282714) × cos(1.40327126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16674257694554 × 6371000     		do = 50.9274749530652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56287508--0.56282714) × cos(1.40326327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166750455083917 × 6371000     		du = 50.9298811393087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40327126)-sin(1.40326327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16674257694554-0.166750455083917)×R²
    abs(-0.56282714--0.56287508)×7.87813837668794e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87813837668794e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87813837668794e-06×40589641000000     		ar = 2592.48819651916m²