Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53793 / 13859
↖ ↑ ↗
← N 80.399688°
W 32.253113°		 ← 50.93 m → N 80.399688°
W 32.250366°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.399231°
W 32.253113°		 ← 50.93 m →
2 592 m²		 N 80.399231°
W 32.250366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410411834716797 y=0.105739593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410411834716797 × 217)
    floor (0.410411834716797 × 131072)
    floor (53793.5)     		tx = 53793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105739593505859 × 217)
    floor (0.105739593505859 × 131072)
    floor (13859.5)     		ty = 13859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53793 / 13859 ti = "17/53793/13859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53793/13859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53793 ÷ 217
    53793 ÷ 131072     		x = 0.410408020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13859 ÷ 217
    13859 ÷ 131072     		y = 0.105735778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410408020019531 × 2 - 1) × π
    -0.179183959960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.56292301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105735778808594 × 2 - 1) × π
    0.788528442382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.47723516166564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56292301} λ = -0.56292301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47723516166564))-π/2
    2×atan(11.9082943516802)-π/2
    2×1.48701780558042-π/2
    2.97403561116085-1.57079632675     		φ = 1.40323928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56292301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.253113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40323928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.399688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53793 KachelY 13859 -0.56292301 1.40323928 -32.253113 80.399688
    Oben rechts KachelX + 1 53794 KachelY 13859 -0.56287508 1.40323928 -32.250366 80.399688
    Unten links KachelX 53793 KachelY + 1 13860 -0.56292301 1.40323129 -32.253113 80.399231
    Unten rechts KachelX + 1 53794 KachelY + 1 13860 -0.56287508 1.40323129 -32.250366 80.399231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40323928-1.40323129) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40323928-1.40323129) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56292301--0.56287508) × cos(1.40323928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166774109155076 × 6371000     		do = 50.9264805230667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56292301--0.56287508) × cos(1.40323129) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166781987250842 × 6371000     		du = 50.9288861943823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40323928)-sin(1.40323129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166774109155076-0.166781987250842)×R²
    abs(-0.56287508--0.56292301)×7.87809576577314e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.87809576577314e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.87809576577314e-06×40589641000000     		ar = 2592.43756277858m²