Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53792 / 13857
↖ ↑ ↗
← N 80.400605°
W 32.255859°		 ← 50.93 m → N 80.400605°
W 32.253113°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.400147°
W 32.255859°		 ← 50.93 m →
2 593 m²		 N 80.400147°
W 32.253113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410404205322266 y=0.105724334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410404205322266 × 217)
    floor (0.410404205322266 × 131072)
    floor (53792.5)     		tx = 53792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105724334716797 × 217)
    floor (0.105724334716797 × 131072)
    floor (13857.5)     		ty = 13857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53792 / 13857 ti = "17/53792/13857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53792/13857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53792 ÷ 217
    53792 ÷ 131072     		x = 0.410400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13857 ÷ 217
    13857 ÷ 131072     		y = 0.105720520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.17919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56297095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105720520019531 × 2 - 1) × π
    0.788558959960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.47733103546488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56297095} λ = -0.56297095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47733103546488))-π/2
    2×atan(11.9094360998331)-π/2
    2×1.48702579983609-π/2
    2.97405159967218-1.57079632675     		φ = 1.40325527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56297095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.255859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40325527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.400605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53792 KachelY 13857 -0.56297095 1.40325527 -32.255859 80.400605
    Oben rechts KachelX + 1 53793 KachelY 13857 -0.56292301 1.40325527 -32.253113 80.400605
    Unten links KachelX 53792 KachelY + 1 13858 -0.56297095 1.40324728 -32.255859 80.400147
    Unten rechts KachelX + 1 53793 KachelY + 1 13858 -0.56292301 1.40324728 -32.253113 80.400147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40325527-1.40324728) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40325527-1.40324728) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56297095--0.56292301) × cos(1.40325527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166758343071626 × 6371000     		do = 50.9322903337919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56297095--0.56292301) × cos(1.40324728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166766221188699 × 6371000     		du = 50.9346965135286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40325527)-sin(1.40324728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166758343071626-0.166766221188699)×R²
    abs(-0.56292301--0.56297095)×7.87811707234076e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87811707234076e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87811707234076e-06×40589641000000     		ar = 2592.73332005038m²