Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53790 / 50234
↖ ↑ ↗
← S 68.772214°
E115.477295°		 ← 221.15 m → S 68.772214°
E115.482788°		 →
↑
221.14 m
↓
↑
221.14 m
↓
S 68.774202°
E115.477295°		 ← 221.13 m →
48 903 m²		 S 68.774202°
E115.482788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820777893066406 y=0.766517639160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820777893066406 × 216)
    floor (0.820777893066406 × 65536)
    floor (53790.5)     		tx = 53790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766517639160156 × 216)
    floor (0.766517639160156 × 65536)
    floor (50234.5)     		ty = 50234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53790 / 50234 ti = "16/53790/50234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53790/50234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53790 ÷ 216
    53790 ÷ 65536     		x = 0.820770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50234 ÷ 216
    50234 ÷ 65536     		y = 0.766510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820770263671875 × 2 - 1) × π
    0.64154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01545901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.53302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6745317775278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01545901} λ = 2.01545901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6745317775278))-π/2
    2×atan(0.187395901916022)-π/2
    2×0.185247385422486-π/2
    0.370494770844972-1.57079632675     		φ = -1.20030156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01545901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20030156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.772214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53790 KachelY 50234 2.01545901 -1.20030156 115.477295 -68.772214
    Oben rechts KachelX + 1 53791 KachelY 50234 2.01555488 -1.20030156 115.482788 -68.772214
    Unten links KachelX 53790 KachelY + 1 50235 2.01545901 -1.20033627 115.477295 -68.774202
    Unten rechts KachelX + 1 53791 KachelY + 1 50235 2.01555488 -1.20033627 115.482788 -68.774202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20030156--1.20033627) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dl = 221.137409999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20030156--1.20033627) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dr = 221.137409999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01545901-2.01555488) × cos(-1.20030156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362076672298046 × 6371000     		do = 221.15200324194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01545901-2.01555488) × cos(-1.20033627) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362044317211886 × 6371000     		du = 221.132241151015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20030156)-sin(-1.20033627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362076672298046-0.362044317211886)×R²
    abs(2.01555488-2.01545901)×3.23550861605626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23550861605626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23550861605626e-05×40589641000000     		ar = 48902.7961495694m²