Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53790 / 13806
↖ ↑ ↗
← N 80.423935°
W 32.261352°		 ← 50.80 m → N 80.423935°
W 32.258606°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.423478°
W 32.261352°		 ← 50.80 m →
2 583 m²		 N 80.423478°
W 32.258606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410388946533203 y=0.105335235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410388946533203 × 217)
    floor (0.410388946533203 × 131072)
    floor (53790.5)     		tx = 53790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105335235595703 × 217)
    floor (0.105335235595703 × 131072)
    floor (13806.5)     		ty = 13806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53790 / 13806 ti = "17/53790/13806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53790/13806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53790 ÷ 217
    53790 ÷ 131072     		x = 0.410385131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13806 ÷ 217
    13806 ÷ 131072     		y = 0.105331420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410385131835938 × 2 - 1) × π
    -0.179229736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.56306682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105331420898438 × 2 - 1) × π
    0.789337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4797758173455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56306682} λ = -0.56306682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4797758173455))-π/2
    2×atan(11.9385876935427)-π/2
    2×1.48722939822419-π/2
    2.97445879644837-1.57079632675     		φ = 1.40366247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56306682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.261352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40366247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.423935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53790 KachelY 13806 -0.56306682 1.40366247 -32.261352 80.423935
    Oben rechts KachelX + 1 53791 KachelY 13806 -0.56301889 1.40366247 -32.258606 80.423935
    Unten links KachelX 53790 KachelY + 1 13807 -0.56306682 1.40365449 -32.261352 80.423478
    Unten rechts KachelX + 1 53791 KachelY + 1 13807 -0.56301889 1.40365449 -32.258606 80.423478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40366247-1.40365449) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dl = 50.8405799994107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40366247-1.40365449) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dr = 50.8405799994107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56306682--0.56301889) × cos(1.40366247) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.166356830954669 × 6371000     		do = 50.7990596045979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56306682--0.56301889) × cos(1.40365449) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.166364699753011 × 6371000     		du = 50.8014624368333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40366247)-sin(1.40365449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166356830954669-0.166364699753011)×R²
    abs(-0.56301889--0.56306682)×7.86879834188681e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.86879834188681e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.86879834188681e-06×40589641000000     		ar = 2582.71473434269m²