Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5379 / 7935
↖ ↑ ↗
← N 67.613405°
W120.904541°		 ← 465.27 m → N 67.613405°
W120.893554°		 →
↑
465.34 m
↓
↑
465.34 m
↓
N 67.609220°
W120.904541°		 ← 465.35 m →
216 525 m²		 N 67.609220°
W120.893554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164169311523438 y=0.242172241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164169311523438 × 215)
    floor (0.164169311523438 × 32768)
    floor (5379.5)     		tx = 5379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242172241210938 × 215)
    floor (0.242172241210938 × 32768)
    floor (7935.5)     		ty = 7935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5379 / 7935 ti = "15/5379/7935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5379/7935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5379 ÷ 215
    5379 ÷ 32768     		x = 0.164154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7935 ÷ 215
    7935 ÷ 32768     		y = 0.242156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.67169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.11018232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242156982421875 × 2 - 1) × π
    0.51568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62007545955942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11018232} λ = -2.11018232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62007545955942))-π/2
    2×atan(5.05347163491973)-π/2
    2×1.37543643268282-π/2
    2.75087286536564-1.57079632675     		φ = 1.18007654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11018232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.904541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18007654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.613405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5379 KachelY 7935 -2.11018232 1.18007654 -120.904541 67.613405
    Oben rechts KachelX + 1 5380 KachelY 7935 -2.10999057 1.18007654 -120.893554 67.613405
    Unten links KachelX 5379 KachelY + 1 7936 -2.11018232 1.18000350 -120.904541 67.609220
    Unten rechts KachelX + 1 5380 KachelY + 1 7936 -2.10999057 1.18000350 -120.893554 67.609220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18007654-1.18000350) × R
    7.30399999999687e-05 × 6371000     		dl = 465.337839999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18007654-1.18000350) × R
    7.30399999999687e-05 × 6371000     		dr = 465.337839999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11018232--2.10999057) × cos(1.18007654) × R
    0.000191749999999935 × 0.380854053906962 × 6371000     		do = 465.266260774203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11018232--2.10999057) × cos(1.18000350) × R
    0.000191749999999935 × 0.380921588243505 × 6371000     		du = 465.348763370447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18007654)-sin(1.18000350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380854053906962-0.380921588243505)×R²
    abs(-2.10999057--2.11018232)×6.7534336543551e-05×R²
    0.000191749999999935×6.7534336543551e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.7534336543551e-05×40589641000000     		ar = 216525.192700007m²