Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53788 / 12464
↖ ↑ ↗
← N 81.018058°
W 32.266846°		 ← 47.68 m → N 81.018058°
W 32.264099°		 →
↑
47.66 m
↓
↑
47.66 m
↓
N 81.017629°
W 32.266846°		 ← 47.69 m →
2 272 m²		 N 81.017629°
W 32.264099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410373687744141 y=0.0950965881347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410373687744141 × 217)
    floor (0.410373687744141 × 131072)
    floor (53788.5)     		tx = 53788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0950965881347656 × 217)
    floor (0.0950965881347656 × 131072)
    floor (12464.5)     		ty = 12464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53788 / 12464 ti = "17/53788/12464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53788/12464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53788 ÷ 217
    53788 ÷ 131072     		x = 0.410369873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12464 ÷ 217
    12464 ÷ 131072     		y = 0.0950927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410369873046875 × 2 - 1) × π
    -0.17926025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56316270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0950927734375 × 2 - 1) × π
    0.809814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.54410713663562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56316270} λ = -0.56316270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54410713663562))-π/2
    2×atan(12.7318552025346)-π/2
    2×1.49241409419495-π/2
    2.9848281883899-1.57079632675     		φ = 1.41403186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56316270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.266846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41403186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.018058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53788 KachelY 12464 -0.56316270 1.41403186 -32.266846 81.018058
    Oben rechts KachelX + 1 53789 KachelY 12464 -0.56311476 1.41403186 -32.264099 81.018058
    Unten links KachelX 53788 KachelY + 1 12465 -0.56316270 1.41402438 -32.266846 81.017629
    Unten rechts KachelX + 1 53789 KachelY + 1 12465 -0.56311476 1.41402438 -32.264099 81.017629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41403186-1.41402438) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dl = 47.6550799989655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41403186-1.41402438) × R
    7.47999999983762e-06 × 6371000     		dr = 47.6550799989655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56316270--0.56311476) × cos(1.41403186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156123171606537 × 6371000     		do = 47.6840352190423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56316270--0.56311476) × cos(1.41402438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156130559879375 × 6371000     		du = 47.6862917877412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41403186)-sin(1.41402438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156123171606537-0.156130559879375)×R²
    abs(-0.56311476--0.56316270)×7.38827283791599e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.38827283791599e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.38827283791599e-06×40589641000000     		ar = 2272.44028157538m²