Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53787 / 13849
↖ ↑ ↗
← N 80.404268°
W 32.269592°		 ← 50.90 m → N 80.404268°
W 32.266846°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.403810°
W 32.269592°		 ← 50.90 m →
2 591 m²		 N 80.403810°
W 32.266846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410366058349609 y=0.105663299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410366058349609 × 217)
    floor (0.410366058349609 × 131072)
    floor (53787.5)     		tx = 53787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105663299560547 × 217)
    floor (0.105663299560547 × 131072)
    floor (13849.5)     		ty = 13849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53787 / 13849 ti = "17/53787/13849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53787/13849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53787 ÷ 217
    53787 ÷ 131072     		x = 0.410362243652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13849 ÷ 217
    13849 ÷ 131072     		y = 0.105659484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410362243652344 × 2 - 1) × π
    -0.179275512695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.56321063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105659484863281 × 2 - 1) × π
    0.788681030273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.47771453066184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56321063} λ = -0.56321063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47771453066184))-π/2
    2×atan(11.9140041872397)-π/2
    2×1.48705776930272-π/2
    2.97411553860544-1.57079632675     		φ = 1.40331921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56321063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.269592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40331921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.404268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53787 KachelY 13849 -0.56321063 1.40331921 -32.269592 80.404268
    Oben rechts KachelX + 1 53788 KachelY 13849 -0.56316270 1.40331921 -32.266846 80.404268
    Unten links KachelX 53787 KachelY + 1 13850 -0.56321063 1.40331122 -32.269592 80.403810
    Unten rechts KachelX + 1 53788 KachelY + 1 13850 -0.56316270 1.40331122 -32.266846 80.403810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40331921-1.40331122) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40331921-1.40331122) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56321063--0.56316270) × cos(1.40331921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16669529803167 × 6371000     		do = 50.9024145984369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56321063--0.56316270) × cos(1.40331122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166703176233922 × 6371000     		du = 50.9048203022693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40331921)-sin(1.40331122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16669529803167-0.166703176233922)×R²
    abs(-0.56316270--0.56321063)×7.87820225187086e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.87820225187086e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.87820225187086e-06×40589641000000     		ar = 2591.21250467647m²