Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53786 / 20968
↖ ↑ ↗
← N 54.239550°
E115.455322°		 ← 356.98 m → N 54.239550°
E115.460816°		 →
↑
356.97 m
↓
↑
356.97 m
↓
N 54.236340°
E115.455322°		 ← 357.01 m →
127 435 m²		 N 54.236340°
E115.460816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820716857910156 y=0.319953918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820716857910156 × 216)
    floor (0.820716857910156 × 65536)
    floor (53786.5)     		tx = 53786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319953918457031 × 216)
    floor (0.319953918457031 × 65536)
    floor (20968.5)     		ty = 20968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53786 / 20968 ti = "16/53786/20968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53786/20968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53786 ÷ 216
    53786 ÷ 65536     		x = 0.820709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20968 ÷ 216
    20968 ÷ 65536     		y = 0.3199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820709228515625 × 2 - 1) × π
    0.64141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01507551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3199462890625 × 2 - 1) × π
    0.360107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13131083103333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01507551} λ = 2.01507551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13131083103333))-π/2
    2×atan(3.09971704349529)-π/2
    2×1.2587275341768-π/2
    2.51745506835359-1.57079632675     		φ = 0.94665874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01507551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.455322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94665874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.239550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53786 KachelY 20968 2.01507551 0.94665874 115.455322 54.239550
    Oben rechts KachelX + 1 53787 KachelY 20968 2.01517139 0.94665874 115.460816 54.239550
    Unten links KachelX 53786 KachelY + 1 20969 2.01507551 0.94660271 115.455322 54.236340
    Unten rechts KachelX + 1 53787 KachelY + 1 20969 2.01517139 0.94660271 115.460816 54.236340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94665874-0.94660271) × R
    5.60300000000957e-05 × 6371000     		dl = 356.96713000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94665874-0.94660271) × R
    5.60300000000957e-05 × 6371000     		dr = 356.96713000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01507551-2.01517139) × cos(0.94665874) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.584397670139097 × 6371000     		do = 356.980181712785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01507551-2.01517139) × cos(0.94660271) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.584443135740933 × 6371000     		du = 357.007954442956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94665874)-sin(0.94660271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584397670139097-0.584443135740933)×R²
    abs(2.01517139-2.01507551)×4.54656018358257e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54656018358257e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54656018358257e-05×40589641000000     		ar = 127435.147942366m²