Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53786 / 13796
↖ ↑ ↗
← N 80.428504°
W 32.272339°		 ← 50.79 m → N 80.428504°
W 32.269592°		 →
↑
50.78 m
↓
↑
50.78 m
↓
N 80.428047°
W 32.272339°		 ← 50.79 m →
2 579 m²		 N 80.428047°
W 32.269592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410358428955078 y=0.105258941650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410358428955078 × 217)
    floor (0.410358428955078 × 131072)
    floor (53786.5)     		tx = 53786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105258941650391 × 217)
    floor (0.105258941650391 × 131072)
    floor (13796.5)     		ty = 13796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53786 / 13796 ti = "17/53786/13796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53786/13796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53786 ÷ 217
    53786 ÷ 131072     		x = 0.410354614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13796 ÷ 217
    13796 ÷ 131072     		y = 0.105255126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410354614257812 × 2 - 1) × π
    -0.179290771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56325857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105255126953125 × 2 - 1) × π
    0.78948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48025518634171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56325857} λ = -0.56325857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48025518634171))-π/2
    2×atan(11.9443120542723)-π/2
    2×1.48726926195544-π/2
    2.97453852391088-1.57079632675     		φ = 1.40374220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56325857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.272339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40374220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.428504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53786 KachelY 13796 -0.56325857 1.40374220 -32.272339 80.428504
    Oben rechts KachelX + 1 53787 KachelY 13796 -0.56321063 1.40374220 -32.269592 80.428504
    Unten links KachelX 53786 KachelY + 1 13797 -0.56325857 1.40373423 -32.272339 80.428047
    Unten rechts KachelX + 1 53787 KachelY + 1 13797 -0.56321063 1.40373423 -32.269592 80.428047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40374220-1.40373423) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dl = 50.7768699997979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40374220-1.40373423) × R
    7.96999999996828e-06 × 6371000     		dr = 50.7768699997979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56325857--0.56321063) × cos(1.40374220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166278211414202 × 6371000     		do = 50.7856457670258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56325857--0.56321063) × cos(1.40373423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16628607045759 × 6371000     		du = 50.7880461211681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40374220)-sin(1.40373423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166278211414202-0.16628607045759)×R²
    abs(-0.56321063--0.56325857)×7.85904338768129e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.85904338768129e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.85904338768129e-06×40589641000000     		ar = 2578.79707420504m²