Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53785 / 21155
↖ ↑ ↗
← N 53.634868°
E115.449829°		 ← 362.15 m → N 53.634868°
E115.455322°		 →
↑
362.19 m
↓
↑
362.19 m
↓
N 53.631611°
E115.449829°		 ← 362.18 m →
131 174 m²		 N 53.631611°
E115.455322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820701599121094 y=0.322807312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820701599121094 × 216)
    floor (0.820701599121094 × 65536)
    floor (53785.5)     		tx = 53785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322807312011719 × 216)
    floor (0.322807312011719 × 65536)
    floor (21155.5)     		ty = 21155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53785 / 21155 ti = "16/53785/21155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53785/21155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53785 ÷ 216
    53785 ÷ 65536     		x = 0.820693969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21155 ÷ 216
    21155 ÷ 65536     		y = 0.322799682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820693969726562 × 2 - 1) × π
    0.641387939453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01497964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322799682617188 × 2 - 1) × π
    0.354400634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11338243057542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01497964} λ = 2.01497964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11338243057542))-π/2
    2×atan(3.04463927843217)-π/2
    2×1.25345068177703-π/2
    2.50690136355406-1.57079632675     		φ = 0.93610504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01497964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.449829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93610504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.634868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53785 KachelY 21155 2.01497964 0.93610504 115.449829 53.634868
    Oben rechts KachelX + 1 53786 KachelY 21155 2.01507551 0.93610504 115.455322 53.634868
    Unten links KachelX 53785 KachelY + 1 21156 2.01497964 0.93604819 115.449829 53.631611
    Unten rechts KachelX + 1 53786 KachelY + 1 21156 2.01507551 0.93604819 115.455322 53.631611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93610504-0.93604819) × R
    5.68500000001082e-05 × 6371000     		dl = 362.191350000689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93610504-0.93604819) × R
    5.68500000001082e-05 × 6371000     		dr = 362.191350000689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01497964-2.01507551) × cos(0.93610504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592928949829956 × 6371000     		do = 362.153751035073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01497964-2.01507551) × cos(0.93604819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.592974727606015 × 6371000     		du = 362.181711540828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93610504)-sin(0.93604819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592928949829956-0.592974727606015)×R²
    abs(2.01507551-2.01497964)×4.5777776059075e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5777776059075e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5777776059075e-05×40589641000000     		ar = 131174.019557256m²