Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53784 / 13797
↖ ↑ ↗
← N 80.428047°
W 32.277832°		 ← 50.78 m → N 80.428047°
W 32.275086°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.427590°
W 32.277832°		 ← 50.78 m →
2 582 m²		 N 80.427590°
W 32.275086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410343170166016 y=0.105266571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410343170166016 × 217)
    floor (0.410343170166016 × 131072)
    floor (53784.5)     		tx = 53784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105266571044922 × 217)
    floor (0.105266571044922 × 131072)
    floor (13797.5)     		ty = 13797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53784 / 13797 ti = "17/53784/13797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53784/13797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53784 ÷ 217
    53784 ÷ 131072     		x = 0.41033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13797 ÷ 217
    13797 ÷ 131072     		y = 0.105262756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1793212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56335444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105262756347656 × 2 - 1) × π
    0.789474487304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.48020724944209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56335444} λ = -0.56335444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48020724944209))-π/2
    2×atan(11.9437394947078)-π/2
    2×1.48726527643021-π/2
    2.97453055286042-1.57079632675     		φ = 1.40373423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56335444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40373423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.428047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53784 KachelY 13797 -0.56335444 1.40373423 -32.277832 80.428047
    Oben rechts KachelX + 1 53785 KachelY 13797 -0.56330651 1.40373423 -32.275086 80.428047
    Unten links KachelX 53784 KachelY + 1 13798 -0.56335444 1.40372625 -32.277832 80.427590
    Unten rechts KachelX + 1 53785 KachelY + 1 13798 -0.56330651 1.40372625 -32.275086 80.427590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40373423-1.40372625) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dl = 50.8405799994107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40373423-1.40372625) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dr = 50.8405799994107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56335444--0.56330651) × cos(1.40373423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16628607045759 × 6371000     		do = 50.7774520356837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56335444--0.56330651) × cos(1.40372625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.166293939351177 × 6371000     		du = 50.7798548970033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40373423)-sin(1.40372625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16628607045759-0.166293939351177)×R²
    abs(-0.56330651--0.56335444)×7.86889358725396e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.86889358725396e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.86889358725396e-06×40589641000000     		ar = 2581.61619367508m²