Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53784 / 12470
↖ ↑ ↗
← N 81.015485°
W 32.277832°		 ← 47.69 m → N 81.015485°
W 32.275086°		 →
↑
47.72 m
↓
↑
47.72 m
↓
N 81.015055°
W 32.277832°		 ← 47.69 m →
2 276 m²		 N 81.015055°
W 32.275086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410343170166016 y=0.0951423645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410343170166016 × 217)
    floor (0.410343170166016 × 131072)
    floor (53784.5)     		tx = 53784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0951423645019531 × 217)
    floor (0.0951423645019531 × 131072)
    floor (12470.5)     		ty = 12470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53784 / 12470 ti = "17/53784/12470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53784/12470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53784 ÷ 217
    53784 ÷ 131072     		x = 0.41033935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12470 ÷ 217
    12470 ÷ 131072     		y = 0.0951385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41033935546875 × 2 - 1) × π
    -0.1793212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56335444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0951385498046875 × 2 - 1) × π
    0.809722900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5438195152379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56335444} λ = -0.56335444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5438195152379))-π/2
    2×atan(12.7281937751234)-π/2
    2×1.49239163882319-π/2
    2.98478327764639-1.57079632675     		φ = 1.41398695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56335444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41398695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.015485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53784 KachelY 12470 -0.56335444 1.41398695 -32.277832 81.015485
    Oben rechts KachelX + 1 53785 KachelY 12470 -0.56330651 1.41398695 -32.275086 81.015485
    Unten links KachelX 53784 KachelY + 1 12471 -0.56335444 1.41397946 -32.277832 81.015055
    Unten rechts KachelX + 1 53785 KachelY + 1 12471 -0.56330651 1.41397946 -32.275086 81.015055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41398695-1.41397946) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dl = 47.7187899999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41398695-1.41397946) × R
    7.48999999999889e-06 × 6371000     		dr = 47.7187899999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56335444--0.56330651) × cos(1.41398695) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156167530744441 × 6371000     		do = 47.6876342082392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56335444--0.56330651) × cos(1.41397946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.156174928842119 × 6371000     		du = 47.6898933063641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41398695)-sin(1.41397946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156167530744441-0.156174928842119)×R²
    abs(-0.56330651--0.56335444)×7.39809767755228e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.39809767755228e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.39809767755228e-06×40589641000000     		ar = 2275.65010315929m²