Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53782 / 50232
↖ ↑ ↗
← S 68.768235°
E115.433350°		 ← 221.19 m → S 68.768235°
E115.438843°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
S 68.770224°
E115.433350°		 ← 221.17 m →
48 926 m²		 S 68.770224°
E115.438843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820655822753906 y=0.766487121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820655822753906 × 216)
    floor (0.820655822753906 × 65536)
    floor (53782.5)     		tx = 53782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766487121582031 × 216)
    floor (0.766487121582031 × 65536)
    floor (50232.5)     		ty = 50232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53782 / 50232 ti = "16/53782/50232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53782/50232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53782 ÷ 216
    53782 ÷ 65536     		x = 0.820648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50232 ÷ 216
    50232 ÷ 65536     		y = 0.7664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820648193359375 × 2 - 1) × π
    0.64129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01469202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67434002992932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01469202} λ = 2.01469202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67434002992932))-π/2
    2×atan(0.187431838075405)-π/2
    2×0.185282102191506-π/2
    0.370564204383012-1.57079632675     		φ = -1.20023212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01469202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20023212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.768235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53782 KachelY 50232 2.01469202 -1.20023212 115.433350 -68.768235
    Oben rechts KachelX + 1 53783 KachelY 50232 2.01478789 -1.20023212 115.438843 -68.768235
    Unten links KachelX 53782 KachelY + 1 50233 2.01469202 -1.20026684 115.433350 -68.770224
    Unten rechts KachelX + 1 53783 KachelY + 1 50233 2.01478789 -1.20026684 115.438843 -68.770224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20023212--1.20026684) × R
    3.47200000001546e-05 × 6371000     		dl = 221.201120000985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20023212--1.20026684) × R
    3.47200000001546e-05 × 6371000     		dr = 221.201120000985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01469202-2.01478789) × cos(-1.20023212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362141399804119 × 6371000     		do = 221.191538011032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01469202-2.01478789) × cos(-1.20026684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36210903626934 × 6371000     		du = 221.171770759794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20023212)-sin(-1.20026684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362141399804119-0.36210903626934)×R²
    abs(2.01478789-2.01469202)×3.23635347793672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23635347793672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23635347793672e-05×40589641000000     		ar = 48925.6296789106m²