Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53782 / 20940
↖ ↑ ↗
← N 54.329338°
E115.433350°		 ← 356.17 m → N 54.329338°
E115.438843°		 →
↑
356.20 m
↓
↑
356.20 m
↓
N 54.326135°
E115.433350°		 ← 356.19 m →
126 872 m²		 N 54.326135°
E115.438843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820655822753906 y=0.319526672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820655822753906 × 216)
    floor (0.820655822753906 × 65536)
    floor (53782.5)     		tx = 53782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319526672363281 × 216)
    floor (0.319526672363281 × 65536)
    floor (20940.5)     		ty = 20940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53782 / 20940 ti = "16/53782/20940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53782/20940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53782 ÷ 216
    53782 ÷ 65536     		x = 0.820648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20940 ÷ 216
    20940 ÷ 65536     		y = 0.31951904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820648193359375 × 2 - 1) × π
    0.64129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01469202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31951904296875 × 2 - 1) × π
    0.3609619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13399529741205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01469202} λ = 2.01469202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13399529741205))-π/2
    2×atan(3.108049308521)-π/2
    2×1.25951107807352-π/2
    2.51902215614703-1.57079632675     		φ = 0.94822583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01469202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94822583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.329338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53782 KachelY 20940 2.01469202 0.94822583 115.433350 54.329338
    Oben rechts KachelX + 1 53783 KachelY 20940 2.01478789 0.94822583 115.438843 54.329338
    Unten links KachelX 53782 KachelY + 1 20941 2.01469202 0.94816992 115.433350 54.326135
    Unten rechts KachelX + 1 53783 KachelY + 1 20941 2.01478789 0.94816992 115.438843 54.326135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94822583-0.94816992) × R
    5.59100000000479e-05 × 6371000     		dl = 356.202610000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94822583-0.94816992) × R
    5.59100000000479e-05 × 6371000     		dr = 356.202610000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01469202-2.01478789) × cos(0.94822583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583125310617289 × 6371000     		do = 356.165808102484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01469202-2.01478789) × cos(0.94816992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583170729995808 × 6371000     		du = 356.193549703404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94822583)-sin(0.94816992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583125310617289-0.583170729995808)×R²
    abs(2.01478789-2.01469202)×4.54193785183188e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54193785183188e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54193785183188e-05×40589641000000     		ar = 126872.131287179m²