Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53781 / 85997
↖ ↑ ↗
← S 48.888198°
W 32.286072°		 ← 200.83 m → S 48.888198°
W 32.283325°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
S 48.890004°
W 32.286072°		 ← 200.82 m →
40 328 m²		 S 48.890004°
W 32.283325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410320281982422 y=0.656108856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410320281982422 × 217)
    floor (0.410320281982422 × 131072)
    floor (53781.5)     		tx = 53781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656108856201172 × 217)
    floor (0.656108856201172 × 131072)
    floor (85997.5)     		ty = 85997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53781 / 85997 ti = "17/53781/85997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53781/85997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53781 ÷ 217
    53781 ÷ 131072     		x = 0.410316467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85997 ÷ 217
    85997 ÷ 131072     		y = 0.656105041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410316467285156 × 2 - 1) × π
    -0.179367065429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.56349826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656105041503906 × 2 - 1) × π
    -0.312210083007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.980836903125969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56349826} λ = -0.56349826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980836903125969))-π/2
    2×atan(0.374997131218132)-π/2
    2×0.358768155171768-π/2
    0.717536310343536-1.57079632675     		φ = -0.85326002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56349826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.286072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85326002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.888198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53781 KachelY 85997 -0.56349826 -0.85326002 -32.286072 -48.888198
    Oben rechts KachelX + 1 53782 KachelY 85997 -0.56345032 -0.85326002 -32.283325 -48.888198
    Unten links KachelX 53781 KachelY + 1 85998 -0.56349826 -0.85329154 -32.286072 -48.890004
    Unten rechts KachelX + 1 53782 KachelY + 1 85998 -0.56345032 -0.85329154 -32.283325 -48.890004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85326002--0.85329154) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dl = 200.813919999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85326002--0.85329154) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dr = 200.813919999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56349826--0.56345032) × cos(-0.85326002) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.657530454018469 × 6371000     		do = 200.82672549146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56349826--0.56345032) × cos(-0.85329154) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.657506705642309 × 6371000     		du = 200.819472126098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85326002)-sin(-0.85329154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657530454018469-0.657506705642309)×R²
    abs(-0.56345032--0.56349826)×2.37483761597046e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37483761597046e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37483761597046e-05×40589641000000     		ar = 40328.0737014959m²