Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53781 / 20988
↖ ↑ ↗
← N 54.175297°
E115.427856°		 ← 357.54 m → N 54.175297°
E115.433350°		 →
↑
357.54 m
↓
↑
357.54 m
↓
N 54.172081°
E115.427856°		 ← 357.56 m →
127 839 m²		 N 54.172081°
E115.433350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820640563964844 y=0.320259094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820640563964844 × 216)
    floor (0.820640563964844 × 65536)
    floor (53781.5)     		tx = 53781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320259094238281 × 216)
    floor (0.320259094238281 × 65536)
    floor (20988.5)     		ty = 20988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53781 / 20988 ti = "16/53781/20988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53781/20988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53781 ÷ 216
    53781 ÷ 65536     		x = 0.820632934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20988 ÷ 216
    20988 ÷ 65536     		y = 0.32025146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820632934570312 × 2 - 1) × π
    0.641265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01459614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32025146484375 × 2 - 1) × π
    0.3594970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12939335504852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01459614} λ = 2.01459614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12939335504852))-π/2
    2×atan(3.09377910525104)-π/2
    2×1.25816681392776-π/2
    2.51633362785551-1.57079632675     		φ = 0.94553730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01459614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.427856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94553730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.175297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53781 KachelY 20988 2.01459614 0.94553730 115.427856 54.175297
    Oben rechts KachelX + 1 53782 KachelY 20988 2.01469202 0.94553730 115.433350 54.175297
    Unten links KachelX 53781 KachelY + 1 20989 2.01459614 0.94548118 115.427856 54.172081
    Unten rechts KachelX + 1 53782 KachelY + 1 20989 2.01469202 0.94548118 115.433350 54.172081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94553730-0.94548118) × R
    5.61199999999928e-05 × 6371000     		dl = 357.540519999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94553730-0.94548118) × R
    5.61199999999928e-05 × 6371000     		dr = 357.540519999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01459614-2.01469202) × cos(0.94553730) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.585307314487222 × 6371000     		do = 357.535839309111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01459614-2.01469202) × cos(0.94548118) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.585352816308923 × 6371000     		du = 357.56363416424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94553730)-sin(0.94548118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585307314487222-0.585352816308923)×R²
    abs(2.01469202-2.01459614)×4.55018217011549e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.55018217011549e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.55018217011549e-05×40589641000000     		ar = 127838.518831965m²