Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53780 / 13828
↖ ↑ ↗
← N 80.413878°
W 32.288818°		 ← 50.85 m → N 80.413878°
W 32.286072°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.413420°
W 32.288818°		 ← 50.85 m →
2 589 m²		 N 80.413420°
W 32.286072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410312652587891 y=0.105503082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410312652587891 × 217)
    floor (0.410312652587891 × 131072)
    floor (53780.5)     		tx = 53780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105503082275391 × 217)
    floor (0.105503082275391 × 131072)
    floor (13828.5)     		ty = 13828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53780 / 13828 ti = "17/53780/13828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53780/13828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53780 ÷ 217
    53780 ÷ 131072     		x = 0.410308837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13828 ÷ 217
    13828 ÷ 131072     		y = 0.105499267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.17938232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56354619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105499267578125 × 2 - 1) × π
    0.78900146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47872120555386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56354619} λ = -0.56354619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47872120555386))-π/2
    2×atan(11.9260037549369)-π/2
    2×1.48714163165965-π/2
    2.9742832633193-1.57079632675     		φ = 1.40348694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56354619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.288818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40348694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.413878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53780 KachelY 13828 -0.56354619 1.40348694 -32.288818 80.413878
    Oben rechts KachelX + 1 53781 KachelY 13828 -0.56349826 1.40348694 -32.286072 80.413878
    Unten links KachelX 53780 KachelY + 1 13829 -0.56354619 1.40347895 -32.288818 80.413420
    Unten rechts KachelX + 1 53781 KachelY + 1 13829 -0.56349826 1.40347895 -32.286072 80.413420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40348694-1.40347895) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dl = 50.9042900004382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40348694-1.40347895) × R
    7.99000000006878e-06 × 6371000     		dr = 50.9042900004382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56354619--0.56349826) × cos(1.40348694) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.166529912489075 × 6371000     		do = 50.8519121332997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56354619--0.56349826) × cos(1.40347895) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.16653779091462 × 6371000     		du = 50.8543179053173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40348694)-sin(1.40347895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166529912489075-0.16653779091462)×R²
    abs(-0.56349826--0.56354619)×7.87842554514362e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.87842554514362e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.87842554514362e-06×40589641000000     		ar = 2588.64171442078m²