Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5378 / 2820
↖ ↑ ↗
← N 81.511788°
W120.915527°		 ← 180.32 m → N 81.511788°
W120.904541°		 →
↑
180.36 m
↓
↑
180.36 m
↓
N 81.510166°
W120.915527°		 ← 180.36 m →
32 526 m²		 N 81.510166°
W120.904541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164138793945312 y=0.0860748291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164138793945312 × 215)
    floor (0.164138793945312 × 32768)
    floor (5378.5)     		tx = 5378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0860748291015625 × 215)
    floor (0.0860748291015625 × 32768)
    floor (2820.5)     		ty = 2820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5378 / 2820 ti = "15/5378/2820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5378/2820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5378 ÷ 215
    5378 ÷ 32768     		x = 0.16412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2820 ÷ 215
    2820 ÷ 32768     		y = 0.0860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16412353515625 × 2 - 1) × π
    -0.6717529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.11037407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0860595703125 × 2 - 1) × π
    0.827880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60086442578577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11037407} λ = -2.11037407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60086442578577))-π/2
    2×atan(13.4753814690492)-π/2
    2×1.49672270108149-π/2
    2.99344540216297-1.57079632675     		φ = 1.42264908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11037407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.915527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42264908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.511788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5378 KachelY 2820 -2.11037407 1.42264908 -120.915527 81.511788
    Oben rechts KachelX + 1 5379 KachelY 2820 -2.11018232 1.42264908 -120.904541 81.511788
    Unten links KachelX 5378 KachelY + 1 2821 -2.11037407 1.42262077 -120.915527 81.510166
    Unten rechts KachelX + 1 5379 KachelY + 1 2821 -2.11018232 1.42262077 -120.904541 81.510166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42264908-1.42262077) × R
    2.83100000000314e-05 × 6371000     		dl = 180.3630100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42264908-1.42262077) × R
    2.83100000000314e-05 × 6371000     		dr = 180.3630100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11037407--2.11018232) × cos(1.42264908) × R
    0.000191750000000379 × 0.147605928250276 × 6371000     		do = 180.321195483578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11037407--2.11018232) × cos(1.42262077) × R
    0.000191750000000379 × 0.147633928090536 × 6371000     		du = 180.355401187433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42264908)-sin(1.42262077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147605928250276-0.147633928090536)×R²
    abs(-2.11018232--2.11037407)×2.7999840259918e-05×R²
    0.000191750000000379×2.7999840259918e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.7999840259918e-05×40589641000000     		ar = 32526.3583084809m²