Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53779 / 21244
↖ ↑ ↗
← N 53.343993°
E115.416870°		 ← 364.65 m → N 53.343993°
E115.422363°		 →
↑
364.68 m
↓
↑
364.68 m
↓
N 53.340713°
E115.416870°		 ← 364.67 m →
132 983 m²		 N 53.340713°
E115.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820610046386719 y=0.324165344238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820610046386719 × 216)
    floor (0.820610046386719 × 65536)
    floor (53779.5)     		tx = 53779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324165344238281 × 216)
    floor (0.324165344238281 × 65536)
    floor (21244.5)     		ty = 21244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53779 / 21244 ti = "16/53779/21244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53779/21244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53779 ÷ 216
    53779 ÷ 65536     		x = 0.820602416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21244 ÷ 216
    21244 ÷ 65536     		y = 0.32415771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820602416992188 × 2 - 1) × π
    0.641204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01440440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32415771484375 × 2 - 1) × π
    0.3516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10484966244305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01440440} λ = 2.01440440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10484966244305))-π/2
    2×atan(3.01877060009367)-π/2
    2×1.25091231936573-π/2
    2.50182463873145-1.57079632675     		φ = 0.93102831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01440440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93102831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.343993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53779 KachelY 21244 2.01440440 0.93102831 115.416870 53.343993
    Oben rechts KachelX + 1 53780 KachelY 21244 2.01450027 0.93102831 115.422363 53.343993
    Unten links KachelX 53779 KachelY + 1 21245 2.01440440 0.93097107 115.416870 53.340713
    Unten rechts KachelX + 1 53780 KachelY + 1 21245 2.01450027 0.93097107 115.422363 53.340713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93102831-0.93097107) × R
    5.72399999999584e-05 × 6371000     		dl = 364.676039999735m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93102831-0.93097107) × R
    5.72399999999584e-05 × 6371000     		dr = 364.676039999735m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01440440-2.01450027) × cos(0.93102831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59700935254995 × 6371000     		do = 364.64601111312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01440440-2.01450027) × cos(0.93097107) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597055271461835 × 6371000     		du = 364.674057822911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93102831)-sin(0.93097107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59700935254995-0.597055271461835)×R²
    abs(2.01450027-2.01440440)×4.59189118849901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59189118849901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59189118849901e-05×40589641000000     		ar = 132982.777352323m²