Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53779 / 20948
↖ ↑ ↗
← N 54.303705°
E115.416870°		 ← 356.39 m → N 54.303705°
E115.422363°		 →
↑
356.39 m
↓
↑
356.39 m
↓
N 54.300499°
E115.416870°		 ← 356.42 m →
127 019 m²		 N 54.300499°
E115.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820610046386719 y=0.319648742675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820610046386719 × 216)
    floor (0.820610046386719 × 65536)
    floor (53779.5)     		tx = 53779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319648742675781 × 216)
    floor (0.319648742675781 × 65536)
    floor (20948.5)     		ty = 20948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53779 / 20948 ti = "16/53779/20948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53779/20948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53779 ÷ 216
    53779 ÷ 65536     		x = 0.820602416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20948 ÷ 216
    20948 ÷ 65536     		y = 0.31964111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820602416992188 × 2 - 1) × π
    0.641204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01440440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31964111328125 × 2 - 1) × π
    0.3607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13322830701813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01440440} λ = 2.01440440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13322830701813))-π/2
    2×atan(3.10566637851656)-π/2
    2×1.25928738264104-π/2
    2.51857476528208-1.57079632675     		φ = 0.94777844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01440440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.416870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94777844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.303705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53779 KachelY 20948 2.01440440 0.94777844 115.416870 54.303705
    Oben rechts KachelX + 1 53780 KachelY 20948 2.01450027 0.94777844 115.422363 54.303705
    Unten links KachelX 53779 KachelY + 1 20949 2.01440440 0.94772250 115.416870 54.300499
    Unten rechts KachelX + 1 53780 KachelY + 1 20949 2.01450027 0.94772250 115.422363 54.300499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94777844-0.94772250) × R
    5.59399999999766e-05 × 6371000     		dl = 356.393739999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94777844-0.94772250) × R
    5.59399999999766e-05 × 6371000     		dr = 356.393739999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01440440-2.01450027) × cos(0.94777844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583488703928234 × 6371000     		do = 356.387764292508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01440440-2.01450027) × cos(0.94772250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583534133078249 × 6371000     		du = 356.415511861739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94777844)-sin(0.94772250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583488703928234-0.583534133078249)×R²
    abs(2.01450027-2.01440440)×4.54291500151527e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54291500151527e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54291500151527e-05×40589641000000     		ar = 127019.31276962m²