Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53778 / 20937
↖ ↑ ↗
← N 54.338947°
E115.411377°		 ← 356.12 m → N 54.338947°
E115.416870°		 →
↑
356.14 m
↓
↑
356.14 m
↓
N 54.335744°
E115.411377°		 ← 356.15 m →
126 833 m²		 N 54.335744°
E115.416870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820594787597656 y=0.319480895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820594787597656 × 216)
    floor (0.820594787597656 × 65536)
    floor (53778.5)     		tx = 53778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319480895996094 × 216)
    floor (0.319480895996094 × 65536)
    floor (20937.5)     		ty = 20937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53778 / 20937 ti = "16/53778/20937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53778/20937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53778 ÷ 216
    53778 ÷ 65536     		x = 0.820587158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20937 ÷ 216
    20937 ÷ 65536     		y = 0.319473266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820587158203125 × 2 - 1) × π
    0.64117431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01430852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319473266601562 × 2 - 1) × π
    0.361053466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13428291880977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01430852} λ = 2.01430852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13428291880977))-π/2
    2×atan(3.10894337857797)-π/2
    2×1.25959492793514-π/2
    2.51918985587029-1.57079632675     		φ = 0.94839353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01430852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.411377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94839353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.338947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53778 KachelY 20937 2.01430852 0.94839353 115.411377 54.338947
    Oben rechts KachelX + 1 53779 KachelY 20937 2.01440440 0.94839353 115.416870 54.338947
    Unten links KachelX 53778 KachelY + 1 20938 2.01430852 0.94833763 115.411377 54.335744
    Unten rechts KachelX + 1 53779 KachelY + 1 20938 2.01440440 0.94833763 115.416870 54.335744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94839353-0.94833763) × R
    5.58999999999976e-05 × 6371000     		dl = 356.138899999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94839353-0.94833763) × R
    5.58999999999976e-05 × 6371000     		dr = 356.138899999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01430852-2.01440440) × cos(0.94839353) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.582989065919856 × 6371000     		do = 356.119733740728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01430852-2.01440440) × cos(0.94833763) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.58303448264092 × 6371000     		du = 356.147476612007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94839353)-sin(0.94833763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582989065919856-0.58303448264092)×R²
    abs(2.01440440-2.01430852)×4.54167210637291e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.54167210637291e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.54167210637291e-05×40589641000000     		ar = 126833.030433332m²