Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53777 / 20941
↖ ↑ ↗
← N 54.326135°
E115.405884°		 ← 356.19 m → N 54.326135°
E115.411377°		 →
↑
356.20 m
↓
↑
356.20 m
↓
N 54.322931°
E115.405884°		 ← 356.22 m →
126 882 m²		 N 54.322931°
E115.411377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820579528808594 y=0.319541931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820579528808594 × 216)
    floor (0.820579528808594 × 65536)
    floor (53777.5)     		tx = 53777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319541931152344 × 216)
    floor (0.319541931152344 × 65536)
    floor (20941.5)     		ty = 20941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53777 / 20941 ti = "16/53777/20941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53777/20941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53777 ÷ 216
    53777 ÷ 65536     		x = 0.820571899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20941 ÷ 216
    20941 ÷ 65536     		y = 0.319534301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820571899414062 × 2 - 1) × π
    0.641143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01421265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319534301757812 × 2 - 1) × π
    0.360931396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13389942361281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01421265} λ = 2.01421265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13389942361281))-π/2
    2×atan(3.10775134230937)-π/2
    2×1.25948312376541-π/2
    2.51896624753082-1.57079632675     		φ = 0.94816992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01421265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.405884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94816992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.326135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53777 KachelY 20941 2.01421265 0.94816992 115.405884 54.326135
    Oben rechts KachelX + 1 53778 KachelY 20941 2.01430852 0.94816992 115.411377 54.326135
    Unten links KachelX 53777 KachelY + 1 20942 2.01421265 0.94811401 115.405884 54.322931
    Unten rechts KachelX + 1 53778 KachelY + 1 20942 2.01430852 0.94811401 115.411377 54.322931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94816992-0.94811401) × R
    5.59100000000479e-05 × 6371000     		dl = 356.202610000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94816992-0.94811401) × R
    5.59100000000479e-05 × 6371000     		dr = 356.202610000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01421265-2.01430852) × cos(0.94816992) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583170729995808 × 6371000     		do = 356.193549703404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01421265-2.01430852) × cos(0.94811401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583216147551376 × 6371000     		du = 356.221290190888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94816992)-sin(0.94811401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583170729995808-0.583216147551376)×R²
    abs(2.01430852-2.01421265)×4.54175555685277e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54175555685277e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54175555685277e-05×40589641000000     		ar = 126882.012719599m²