Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53776 / 21399
↖ ↑ ↗
← N 52.832640°
E115.400390°		 ← 369.04 m → N 52.832640°
E115.405884°		 →
↑
369.07 m
↓
↑
369.07 m
↓
N 52.829321°
E115.400390°		 ← 369.07 m →
136 209 m²		 N 52.829321°
E115.405884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820564270019531 y=0.326530456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820564270019531 × 216)
    floor (0.820564270019531 × 65536)
    floor (53776.5)     		tx = 53776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326530456542969 × 216)
    floor (0.326530456542969 × 65536)
    floor (21399.5)     		ty = 21399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53776 / 21399 ti = "16/53776/21399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53776/21399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53776 ÷ 216
    53776 ÷ 65536     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21399 ÷ 216
    21399 ÷ 65536     		y = 0.326522827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326522827148438 × 2 - 1) × π
    0.346954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08998922356084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08998922356084))-π/2
    2×atan(2.97424202065217)-π/2
    2×1.24644992108373-π/2
    2.49289984216747-1.57079632675     		φ = 0.92210352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92210352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.832640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53776 KachelY 21399 2.01411677 0.92210352 115.400390 52.832640
    Oben rechts KachelX + 1 53777 KachelY 21399 2.01421265 0.92210352 115.405884 52.832640
    Unten links KachelX 53776 KachelY + 1 21400 2.01411677 0.92204559 115.400390 52.829321
    Unten rechts KachelX + 1 53777 KachelY + 1 21400 2.01421265 0.92204559 115.405884 52.829321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92210352-0.92204559) × R
    5.79299999999838e-05 × 6371000     		dl = 369.072029999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92210352-0.92204559) × R
    5.79299999999838e-05 × 6371000     		dr = 369.072029999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01421265) × cos(0.92210352) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.604145253642953 × 6371000     		do = 369.043022324241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01421265) × cos(0.92204559) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.604191415552408 × 6371000     		du = 369.071220394951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92210352)-sin(0.92204559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604145253642953-0.604191415552408)×R²
    abs(2.01421265-2.01411677)×4.61619094542787e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.61619094542787e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.61619094542787e-05×40589641000000     		ar = 136208.661004506m²