Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53776 / 21262
↖ ↑ ↗
← N 53.284921°
E115.400390°		 ← 365.19 m → N 53.284921°
E115.405884°		 →
↑
365.19 m
↓
↑
365.19 m
↓
N 53.281637°
E115.400390°		 ← 365.22 m →
133 367 m²		 N 53.281637°
E115.405884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820564270019531 y=0.324440002441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820564270019531 × 216)
    floor (0.820564270019531 × 65536)
    floor (53776.5)     		tx = 53776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324440002441406 × 216)
    floor (0.324440002441406 × 65536)
    floor (21262.5)     		ty = 21262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53776 / 21262 ti = "16/53776/21262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53776/21262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53776 ÷ 216
    53776 ÷ 65536     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21262 ÷ 216
    21262 ÷ 65536     		y = 0.324432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324432373046875 × 2 - 1) × π
    0.35113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10312393405673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10312393405673))-π/2
    2×atan(3.01356551455102)-π/2
    2×1.25039682471202-π/2
    2.50079364942404-1.57079632675     		φ = 0.92999732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92999732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.284921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53776 KachelY 21262 2.01411677 0.92999732 115.400390 53.284921
    Oben rechts KachelX + 1 53777 KachelY 21262 2.01421265 0.92999732 115.405884 53.284921
    Unten links KachelX 53776 KachelY + 1 21263 2.01411677 0.92994000 115.400390 53.281637
    Unten rechts KachelX + 1 53777 KachelY + 1 21263 2.01421265 0.92994000 115.405884 53.281637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92999732-0.92994000) × R
    5.73200000000273e-05 × 6371000     		dl = 365.185720000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92999732-0.92994000) × R
    5.73200000000273e-05 × 6371000     		dr = 365.185720000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01421265) × cos(0.92999732) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.597836130626593 × 6371000     		do = 365.18908519218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01421265) × cos(0.92994000) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.597882078407621 × 6371000     		du = 365.217152462224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92999732)-sin(0.92994000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597836130626593-0.597882078407621)×R²
    abs(2.01421265-2.01411677)×4.59477810283992e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.59477810283992e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.59477810283992e-05×40589641000000     		ar = 133366.963932029m²