Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53776 / 21137
↖ ↑ ↗
← N 53.693454°
E115.400390°		 ← 361.69 m → N 53.693454°
E115.405884°		 →
↑
361.68 m
↓
↑
361.68 m
↓
N 53.690201°
E115.400390°		 ← 361.72 m →
130 821 m²		 N 53.690201°
E115.405884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820564270019531 y=0.322532653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820564270019531 × 216)
    floor (0.820564270019531 × 65536)
    floor (53776.5)     		tx = 53776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322532653808594 × 216)
    floor (0.322532653808594 × 65536)
    floor (21137.5)     		ty = 21137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53776 / 21137 ti = "16/53776/21137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53776/21137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53776 ÷ 216
    53776 ÷ 65536     		x = 0.820556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21137 ÷ 216
    21137 ÷ 65536     		y = 0.322525024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820556640625 × 2 - 1) × π
    0.64111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01411677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322525024414062 × 2 - 1) × π
    0.354949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11510815896175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01411677} λ = 2.01411677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11510815896175))-π/2
    2×atan(3.04989803514884)-π/2
    2×1.25396194353001-π/2
    2.50792388706002-1.57079632675     		φ = 0.93712756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01411677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.400390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93712756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.693454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53776 KachelY 21137 2.01411677 0.93712756 115.400390 53.693454
    Oben rechts KachelX + 1 53777 KachelY 21137 2.01421265 0.93712756 115.405884 53.693454
    Unten links KachelX 53776 KachelY + 1 21138 2.01411677 0.93707079 115.400390 53.690201
    Unten rechts KachelX + 1 53777 KachelY + 1 21138 2.01421265 0.93707079 115.405884 53.690201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93712756-0.93707079) × R
    5.67699999999283e-05 × 6371000     		dl = 361.681669999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93712756-0.93707079) × R
    5.67699999999283e-05 × 6371000     		dr = 361.681669999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01411677-2.01421265) × cos(0.93712756) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.592105250888397 × 6371000     		do = 361.688368822387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01411677-2.01421265) × cos(0.93707079) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.592150998642804 × 6371000     		du = 361.716313905873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93712756)-sin(0.93707079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592105250888397-0.592150998642804)×R²
    abs(2.01421265-2.01411677)×4.57477544070217e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.57477544070217e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.57477544070217e-05×40589641000000     		ar = 130821.106902594m²