Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53776 / 10736
↖ ↑ ↗
← N 81.729511°
W 32.299805°		 ← 43.93 m → N 81.729511°
W 32.297058°		 →
↑
43.96 m
↓
↑
43.96 m
↓
N 81.729116°
W 32.299805°		 ← 43.94 m →
1 931 m²		 N 81.729116°
W 32.297058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410282135009766 y=0.0819129943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410282135009766 × 217)
    floor (0.410282135009766 × 131072)
    floor (53776.5)     		tx = 53776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0819129943847656 × 217)
    floor (0.0819129943847656 × 131072)
    floor (10736.5)     		ty = 10736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53776 / 10736 ti = "17/53776/10736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53776/10736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53776 ÷ 217
    53776 ÷ 131072     		x = 0.4102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10736 ÷ 217
    10736 ÷ 131072     		y = 0.0819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56373794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0819091796875 × 2 - 1) × π
    0.836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62694209917908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56373794} λ = -0.56373794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62694209917908))-π/2
    2×atan(13.8314100888189)-π/2
    2×1.49862269835802-π/2
    2.99724539671603-1.57079632675     		φ = 1.42644907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56373794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42644907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.729511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53776 KachelY 10736 -0.56373794 1.42644907 -32.299805 81.729511
    Oben rechts KachelX + 1 53777 KachelY 10736 -0.56369000 1.42644907 -32.297058 81.729511
    Unten links KachelX 53776 KachelY + 1 10737 -0.56373794 1.42644217 -32.299805 81.729116
    Unten rechts KachelX + 1 53777 KachelY + 1 10737 -0.56369000 1.42644217 -32.297058 81.729116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42644907-1.42644217) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dl = 43.9599000002031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42644907-1.42644217) × R
    6.90000000003188e-06 × 6371000     		dr = 43.9599000002031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56373794--0.56369000) × cos(1.42644907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143846505717714 × 6371000     		do = 43.9344254552183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56373794--0.56369000) × cos(1.42644217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14385333395437 × 6371000     		du = 43.9365109744516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42644907)-sin(1.42644217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143846505717714-0.14385333395437)×R²
    abs(-0.56369000--0.56373794)×6.82823665518195e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.82823665518195e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.82823665518195e-06×40589641000000     		ar = 1931.39878915182m²