Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53775 / 25108
↖ ↑ ↗
← N 38.736946°
E115.394897°		 ← 476.43 m → N 38.736946°
E115.400390°		 →
↑
476.49 m
↓
↑
476.49 m
↓
N 38.732661°
E115.394897°		 ← 476.46 m →
227 020 m²		 N 38.732661°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820549011230469 y=0.383125305175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820549011230469 × 216)
    floor (0.820549011230469 × 65536)
    floor (53775.5)     		tx = 53775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383125305175781 × 216)
    floor (0.383125305175781 × 65536)
    floor (25108.5)     		ty = 25108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53775 / 25108 ti = "16/53775/25108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53775/25108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53775 ÷ 216
    53775 ÷ 65536     		x = 0.820541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25108 ÷ 216
    25108 ÷ 65536     		y = 0.38311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820541381835938 × 2 - 1) × π
    0.641082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01402090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38311767578125 × 2 - 1) × π
    0.2337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.73439330217926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01402090} λ = 2.01402090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.73439330217926))-π/2
    2×atan(2.08421711886182)-π/2
    2×1.12344178889602-π/2
    2.24688357779203-1.57079632675     		φ = 0.67608725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01402090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.394897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67608725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.736946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53775 KachelY 25108 2.01402090 0.67608725 115.394897 38.736946
    Oben rechts KachelX + 1 53776 KachelY 25108 2.01411677 0.67608725 115.400390 38.736946
    Unten links KachelX 53775 KachelY + 1 25109 2.01402090 0.67601246 115.394897 38.732661
    Unten rechts KachelX + 1 53776 KachelY + 1 25109 2.01411677 0.67601246 115.400390 38.732661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67608725-0.67601246) × R
    7.47899999999913e-05 × 6371000     		dl = 476.487089999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67608725-0.67601246) × R
    7.47899999999913e-05 × 6371000     		dr = 476.487089999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01402090-2.01411677) × cos(0.67608725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780027070216991 × 6371000     		do = 476.430994757459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01402090-2.01411677) × cos(0.67601246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780073867561591 × 6371000     		du = 476.459578003209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67608725)-sin(0.67601246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780027070216991-0.780073867561591)×R²
    abs(2.01411677-2.01402090)×4.67973445998915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67973445998915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67973445998915e-05×40589641000000     		ar = 227020.028157614m²