Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53775 / 21213
↖ ↑ ↗
← N 53.445535°
E115.394897°		 ← 363.78 m → N 53.445535°
E115.400390°		 →
↑
363.78 m
↓
↑
363.78 m
↓
N 53.442264°
E115.394897°		 ← 363.81 m →
132 341 m²		 N 53.442264°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820549011230469 y=0.323692321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820549011230469 × 216)
    floor (0.820549011230469 × 65536)
    floor (53775.5)     		tx = 53775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323692321777344 × 216)
    floor (0.323692321777344 × 65536)
    floor (21213.5)     		ty = 21213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53775 / 21213 ti = "16/53775/21213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53775/21213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53775 ÷ 216
    53775 ÷ 65536     		x = 0.820541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21213 ÷ 216
    21213 ÷ 65536     		y = 0.323684692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820541381835938 × 2 - 1) × π
    0.641082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01402090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323684692382812 × 2 - 1) × π
    0.352630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1078217502195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01402090} λ = 2.01402090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1078217502195))-π/2
    2×atan(3.02775599737458)-π/2
    2×1.25179844418006-π/2
    2.50359688836011-1.57079632675     		φ = 0.93280056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01402090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.394897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93280056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.445535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53775 KachelY 21213 2.01402090 0.93280056 115.394897 53.445535
    Oben rechts KachelX + 1 53776 KachelY 21213 2.01411677 0.93280056 115.400390 53.445535
    Unten links KachelX 53775 KachelY + 1 21214 2.01402090 0.93274346 115.394897 53.442264
    Unten rechts KachelX + 1 53776 KachelY + 1 21214 2.01411677 0.93274346 115.400390 53.442264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93280056-0.93274346) × R
    5.71000000000321e-05 × 6371000     		dl = 363.784100000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93280056-0.93274346) × R
    5.71000000000321e-05 × 6371000     		dr = 363.784100000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01402090-2.01411677) × cos(0.93280056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5955866560351 × 6371000     		do = 363.777045481428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01402090-2.01411677) × cos(0.93274346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59563252298396 × 6371000     		du = 363.805060452839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93280056)-sin(0.93274346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5955866560351-0.59563252298396)×R²
    abs(2.01411677-2.01402090)×4.5866948859774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5866948859774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5866948859774e-05×40589641000000     		ar = 132341.400827713m²