Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53775 / 13813
↖ ↑ ↗
← N 80.420737°
W 32.302551°		 ← 50.83 m → N 80.420737°
W 32.299805°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.420279°
W 32.302551°		 ← 50.83 m →
2 584 m²		 N 80.420279°
W 32.299805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410274505615234 y=0.105388641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410274505615234 × 217)
    floor (0.410274505615234 × 131072)
    floor (53775.5)     		tx = 53775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105388641357422 × 217)
    floor (0.105388641357422 × 131072)
    floor (13813.5)     		ty = 13813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53775 / 13813 ti = "17/53775/13813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53775/13813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53775 ÷ 217
    53775 ÷ 131072     		x = 0.410270690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13813 ÷ 217
    13813 ÷ 131072     		y = 0.105384826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410270690917969 × 2 - 1) × π
    -0.179458618164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.56378588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105384826660156 × 2 - 1) × π
    0.789230346679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.47944025904816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56378588} λ = -0.56378588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47944025904816))-π/2
    2×atan(11.9345822734471)-π/2
    2×1.4872014823985-π/2
    2.97440296479699-1.57079632675     		φ = 1.40360664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56378588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.302551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40360664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.420737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53775 KachelY 13813 -0.56378588 1.40360664 -32.302551 80.420737
    Oben rechts KachelX + 1 53776 KachelY 13813 -0.56373794 1.40360664 -32.299805 80.420737
    Unten links KachelX 53775 KachelY + 1 13814 -0.56378588 1.40359866 -32.302551 80.420279
    Unten rechts KachelX + 1 53776 KachelY + 1 13814 -0.56373794 1.40359866 -32.299805 80.420279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40360664-1.40359866) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dl = 50.8405799994107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40360664-1.40359866) × R
    7.97999999990751e-06 × 6371000     		dr = 50.8405799994107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56378588--0.56373794) × cos(1.40360664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166411882738878 × 6371000     		do = 50.8264724302816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56378588--0.56373794) × cos(1.40359866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16641975146309 × 6371000     		du = 50.8288757411969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40360664)-sin(1.40359866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166411882738878-0.16641975146309)×R²
    abs(-0.56373794--0.56378588)×7.86872421199014e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.86872421199014e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.86872421199014e-06×40589641000000     		ar = 2584.10843063965m²