Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53774 / 25115
↖ ↑ ↗
← N 38.706946°
E115.389404°		 ← 476.63 m → N 38.706946°
E115.394897°		 →
↑
476.68 m
↓
↑
476.68 m
↓
N 38.702659°
E115.389404°		 ← 476.66 m →
227 206 m²		 N 38.702659°
E115.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820533752441406 y=0.383232116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820533752441406 × 216)
    floor (0.820533752441406 × 65536)
    floor (53774.5)     		tx = 53774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383232116699219 × 216)
    floor (0.383232116699219 × 65536)
    floor (25115.5)     		ty = 25115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53774 / 25115 ti = "16/53774/25115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53774/25115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53774 ÷ 216
    53774 ÷ 65536     		x = 0.820526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25115 ÷ 216
    25115 ÷ 65536     		y = 0.383224487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820526123046875 × 2 - 1) × π
    0.64105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01392503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383224487304688 × 2 - 1) × π
    0.233551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.733722185584579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01392503} λ = 2.01392503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.733722185584579))-π/2
    2×atan(2.08281883542453)-π/2
    2×1.12317998938533-π/2
    2.24635997877066-1.57079632675     		φ = 0.67556365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01392503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67556365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.706946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53774 KachelY 25115 2.01392503 0.67556365 115.389404 38.706946
    Oben rechts KachelX + 1 53775 KachelY 25115 2.01402090 0.67556365 115.394897 38.706946
    Unten links KachelX 53774 KachelY + 1 25116 2.01392503 0.67548883 115.389404 38.702659
    Unten rechts KachelX + 1 53775 KachelY + 1 25116 2.01402090 0.67548883 115.394897 38.702659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67556365-0.67548883) × R
    7.481999999992e-05 × 6371000     		dl = 476.67821999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67556365-0.67548883) × R
    7.481999999992e-05 × 6371000     		dr = 476.67821999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01392503-2.01402090) × cos(0.67556365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780354603762711 × 6371000     		do = 476.63104824145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01392503-2.01402090) × cos(0.67548883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780401389312454 × 6371000     		du = 476.659624283045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67556365)-sin(0.67548883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780354603762711-0.780401389312454)×R²
    abs(2.01402090-2.01392503)×4.67855497422454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67855497422454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67855497422454e-05×40589641000000     		ar = 227206.450566364m²