Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53774 / 20998
↖ ↑ ↗
← N 54.143133°
E115.389404°		 ← 357.78 m → N 54.143133°
E115.394897°		 →
↑
357.80 m
↓
↑
357.80 m
↓
N 54.139915°
E115.389404°		 ← 357.80 m →
128 016 m²		 N 54.139915°
E115.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820533752441406 y=0.320411682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820533752441406 × 216)
    floor (0.820533752441406 × 65536)
    floor (53774.5)     		tx = 53774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320411682128906 × 216)
    floor (0.320411682128906 × 65536)
    floor (20998.5)     		ty = 20998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53774 / 20998 ti = "16/53774/20998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53774/20998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53774 ÷ 216
    53774 ÷ 65536     		x = 0.820526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20998 ÷ 216
    20998 ÷ 65536     		y = 0.320404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820526123046875 × 2 - 1) × π
    0.64105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01392503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320404052734375 × 2 - 1) × π
    0.35919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.12843461705612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01392503} λ = 2.01392503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12843461705612))-π/2
    2×atan(3.09081440309613)-π/2
    2×1.25788612668029-π/2
    2.51577225336058-1.57079632675     		φ = 0.94497593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01392503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94497593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.143133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53774 KachelY 20998 2.01392503 0.94497593 115.389404 54.143133
    Oben rechts KachelX + 1 53775 KachelY 20998 2.01402090 0.94497593 115.394897 54.143133
    Unten links KachelX 53774 KachelY + 1 20999 2.01392503 0.94491977 115.389404 54.139915
    Unten rechts KachelX + 1 53775 KachelY + 1 20999 2.01402090 0.94491977 115.394897 54.139915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94497593-0.94491977) × R
    5.61599999999718e-05 × 6371000     		dl = 357.79535999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94497593-0.94491977) × R
    5.61599999999718e-05 × 6371000     		dr = 357.79535999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01392503-2.01402090) × cos(0.94497593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58576238750974 × 6371000     		do = 357.776502416942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01392503-2.01402090) × cos(0.94491977) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585807903301983 × 6371000     		du = 357.804302906186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94497593)-sin(0.94491977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58576238750974-0.585807903301983)×R²
    abs(2.01402090-2.01392503)×4.55157922426563e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55157922426563e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55157922426563e-05×40589641000000     		ar = 128015.745958645m²