Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53774 / 20944
↖ ↑ ↗
← N 54.316523°
E115.389404°		 ← 356.28 m → N 54.316523°
E115.394897°		 →
↑
356.33 m
↓
↑
356.33 m
↓
N 54.313319°
E115.389404°		 ← 356.30 m →
126 957 m²		 N 54.313319°
E115.394897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820533752441406 y=0.319587707519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820533752441406 × 216)
    floor (0.820533752441406 × 65536)
    floor (53774.5)     		tx = 53774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319587707519531 × 216)
    floor (0.319587707519531 × 65536)
    floor (20944.5)     		ty = 20944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53774 / 20944 ti = "16/53774/20944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53774/20944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53774 ÷ 216
    53774 ÷ 65536     		x = 0.820526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20944 ÷ 216
    20944 ÷ 65536     		y = 0.319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820526123046875 × 2 - 1) × π
    0.64105224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01392503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319580078125 × 2 - 1) × π
    0.36083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.13361180221509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01392503} λ = 2.01392503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13361180221509))-π/2
    2×atan(3.10685761505823)-π/2
    2×1.25939924777726-π/2
    2.51879849555452-1.57079632675     		φ = 0.94800217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01392503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.389404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94800217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.316523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53774 KachelY 20944 2.01392503 0.94800217 115.389404 54.316523
    Oben rechts KachelX + 1 53775 KachelY 20944 2.01402090 0.94800217 115.394897 54.316523
    Unten links KachelX 53774 KachelY + 1 20945 2.01392503 0.94794624 115.389404 54.313319
    Unten rechts KachelX + 1 53775 KachelY + 1 20945 2.01402090 0.94794624 115.394897 54.313319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94800217-0.94794624) × R
    5.59299999999263e-05 × 6371000     		dl = 356.330029999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94800217-0.94794624) × R
    5.59299999999263e-05 × 6371000     		dr = 356.330029999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01392503-2.01402090) × cos(0.94800217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.583306993438132 × 6371000     		do = 356.276777747473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01392503-2.01402090) × cos(0.94794624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58335242176773 × 6371000     		du = 356.304524815603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94800217)-sin(0.94794624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.583306993438132-0.58335242176773)×R²
    abs(2.01402090-2.01392503)×4.54283295981961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.54283295981961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.54283295981961e-05×40589641000000     		ar = 126957.058492931m²