Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53773 / 25112
↖ ↑ ↗
← N 38.719805°
E115.383911°		 ← 476.60 m → N 38.719805°
E115.389404°		 →
↑
476.61 m
↓
↑
476.61 m
↓
N 38.715519°
E115.383911°		 ← 476.62 m →
227 159 m²		 N 38.715519°
E115.389404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820518493652344 y=0.383186340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820518493652344 × 216)
    floor (0.820518493652344 × 65536)
    floor (53773.5)     		tx = 53773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383186340332031 × 216)
    floor (0.383186340332031 × 65536)
    floor (25112.5)     		ty = 25112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53773 / 25112 ti = "16/53773/25112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53773/25112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53773 ÷ 216
    53773 ÷ 65536     		x = 0.820510864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25112 ÷ 216
    25112 ÷ 65536     		y = 0.3831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820510864257812 × 2 - 1) × π
    0.641021728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01382915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3831787109375 × 2 - 1) × π
    0.233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.7340098069823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01382915} λ = 2.01382915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.7340098069823))-π/2
    2×atan(2.08341798484914)-π/2
    2×1.12329220263348-π/2
    2.24658440526695-1.57079632675     		φ = 0.67578808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01382915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.383911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67578808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.719805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53773 KachelY 25112 2.01382915 0.67578808 115.383911 38.719805
    Oben rechts KachelX + 1 53774 KachelY 25112 2.01392503 0.67578808 115.389404 38.719805
    Unten links KachelX 53773 KachelY + 1 25113 2.01382915 0.67571327 115.383911 38.715519
    Unten rechts KachelX + 1 53774 KachelY + 1 25113 2.01392503 0.67571327 115.389404 38.715519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67578808-0.67571327) × R
    7.48099999999807e-05 × 6371000     		dl = 476.614509999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67578808-0.67571327) × R
    7.48099999999807e-05 × 6371000     		dr = 476.614509999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01382915-2.01392503) × cos(0.67578808) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.780214239669202 × 6371000     		do = 476.595023018694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01382915-2.01392503) × cos(0.67571327) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.780261032067218 × 6371000     		du = 476.623606224275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67578808)-sin(0.67571327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.780214239669202-0.780261032067218)×R²
    abs(2.01392503-2.01382915)×4.67923980160823e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.67923980160823e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.67923980160823e-05×40589641000000     		ar = 227158.915055812m²