Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53773 / 25106
↖ ↑ ↗
← N 38.745515°
E115.383911°		 ← 476.42 m → N 38.745515°
E115.389404°		 →
↑
476.42 m
↓
↑
476.42 m
↓
N 38.741231°
E115.383911°		 ← 476.45 m →
226 986 m²		 N 38.741231°
E115.389404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820518493652344 y=0.383094787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820518493652344 × 216)
    floor (0.820518493652344 × 65536)
    floor (53773.5)     		tx = 53773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383094787597656 × 216)
    floor (0.383094787597656 × 65536)
    floor (25106.5)     		ty = 25106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53773 / 25106 ti = "16/53773/25106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53773/25106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53773 ÷ 216
    53773 ÷ 65536     		x = 0.820510864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25106 ÷ 216
    25106 ÷ 65536     		y = 0.383087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820510864257812 × 2 - 1) × π
    0.641021728515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01382915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383087158203125 × 2 - 1) × π
    0.23382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.734585049777741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01382915} λ = 2.01382915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.734585049777741))-π/2
    2×atan(2.08461680080688)-π/2
    2×1.12351656856809-π/2
    2.24703313713618-1.57079632675     		φ = 0.67623681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01382915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.383911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67623681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.745515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53773 KachelY 25106 2.01382915 0.67623681 115.383911 38.745515
    Oben rechts KachelX + 1 53774 KachelY 25106 2.01392503 0.67623681 115.389404 38.745515
    Unten links KachelX 53773 KachelY + 1 25107 2.01382915 0.67616203 115.383911 38.741231
    Unten rechts KachelX + 1 53774 KachelY + 1 25107 2.01392503 0.67616203 115.389404 38.741231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67623681-0.67616203) × R
    7.4780000000052e-05 × 6371000     		dl = 476.423380000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67623681-0.67616203) × R
    7.4780000000052e-05 × 6371000     		dr = 476.423380000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01382915-2.01392503) × cos(0.67623681) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.779933474955955 × 6371000     		do = 476.423517478075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01382915-2.01392503) × cos(0.67616203) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.779980274767317 × 6371000     		du = 476.45210521211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67623681)-sin(0.67616203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779933474955955-0.779980274767317)×R²
    abs(2.01392503-2.01382915)×4.67998113621304e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.67998113621304e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.67998113621304e-05×40589641000000     		ar = 226986.112546796m²