Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53771 / 50263
↖ ↑ ↗
← S 68.829818°
E115.372925°		 ← 220.58 m → S 68.829818°
E115.378418°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
S 68.831802°
E115.372925°		 ← 220.56 m →
48 650 m²		 S 68.831802°
E115.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820487976074219 y=0.766960144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820487976074219 × 216)
    floor (0.820487976074219 × 65536)
    floor (53771.5)     		tx = 53771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766960144042969 × 216)
    floor (0.766960144042969 × 65536)
    floor (50263.5)     		ty = 50263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53771 / 50263 ti = "16/53771/50263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53771/50263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53771 ÷ 216
    53771 ÷ 65536     		x = 0.820480346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50263 ÷ 216
    50263 ÷ 65536     		y = 0.766952514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820480346679688 × 2 - 1) × π
    0.640960693359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01363741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766952514648438 × 2 - 1) × π
    -0.533905029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67731211770576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01363741} λ = 2.01363741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67731211770576))-π/2
    2×atan(0.186875601202401)-π/2
    2×0.184744689040168-π/2
    0.369489378080336-1.57079632675     		φ = -1.20130695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01363741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.372925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20130695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.829818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53771 KachelY 50263 2.01363741 -1.20130695 115.372925 -68.829818
    Oben rechts KachelX + 1 53772 KachelY 50263 2.01373328 -1.20130695 115.378418 -68.829818
    Unten links KachelX 53771 KachelY + 1 50264 2.01363741 -1.20134157 115.372925 -68.831802
    Unten rechts KachelX + 1 53772 KachelY + 1 50264 2.01373328 -1.20134157 115.378418 -68.831802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20130695--1.20134157) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dl = 220.564020000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20130695--1.20134157) × R
    3.46200000000962e-05 × 6371000     		dr = 220.564020000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01363741-2.01373328) × cos(-1.20130695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361139316865141 × 6371000     		do = 220.579478007378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01363741-2.01373328) × cos(-1.20134157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361107033087674 × 6371000     		du = 220.559759470932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20130695)-sin(-1.20134157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361139316865141-0.361107033087674)×R²
    abs(2.01373328-2.01363741)×3.22837774674456e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22837774674456e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22837774674456e-05×40589641000000     		ar = 48649.7218041832m²