Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53770 / 50264
↖ ↑ ↗
← S 68.831802°
E115.367432°		 ← 220.58 m → S 68.831802°
E115.372925°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
S 68.833785°
E115.367432°		 ← 220.56 m →
48 650 m²		 S 68.833785°
E115.372925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820472717285156 y=0.766975402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820472717285156 × 216)
    floor (0.820472717285156 × 65536)
    floor (53770.5)     		tx = 53770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766975402832031 × 216)
    floor (0.766975402832031 × 65536)
    floor (50264.5)     		ty = 50264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53770 / 50264 ti = "16/53770/50264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53770/50264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53770 ÷ 216
    53770 ÷ 65536     		x = 0.820465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50264 ÷ 216
    50264 ÷ 65536     		y = 0.7669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820465087890625 × 2 - 1) × π
    0.64093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01354153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.533935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.677407991505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01354153} λ = 2.01354153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.677407991505))-π/2
    2×atan(0.186857685587362)-π/2
    2×0.184727377914781-π/2
    0.369454755829563-1.57079632675     		φ = -1.20134157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01354153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.367432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20134157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.831802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53770 KachelY 50264 2.01354153 -1.20134157 115.367432 -68.831802
    Oben rechts KachelX + 1 53771 KachelY 50264 2.01363741 -1.20134157 115.372925 -68.831802
    Unten links KachelX 53770 KachelY + 1 50265 2.01354153 -1.20137619 115.367432 -68.833785
    Unten rechts KachelX + 1 53771 KachelY + 1 50265 2.01363741 -1.20137619 115.372925 -68.833785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20134157--1.20137619) × R
    3.46199999998742e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20134157--1.20137619) × R
    3.46199999998742e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01354153-2.01363741) × cos(-1.20134157) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361107033087674 × 6371000     		do = 220.58276559987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01354153-2.01363741) × cos(-1.20137619) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361074748877404 × 6371000     		du = 220.563044742246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20134157)-sin(-1.20137619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361107033087674-0.361074748877404)×R²
    abs(2.01363741-2.01354153)×3.22842102700727e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.22842102700727e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.22842102700727e-05×40589641000000     		ar = 48650.4466720441m²