Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53770 / 13837
↖ ↑ ↗
← N 80.409760°
W 32.316284°		 ← 50.88 m → N 80.409760°
W 32.313537°		 →
↑
50.84 m
↓
↑
50.84 m
↓
N 80.409303°
W 32.316284°		 ← 50.89 m →
2 587 m²		 N 80.409303°
W 32.313537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410236358642578 y=0.105571746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410236358642578 × 217)
    floor (0.410236358642578 × 131072)
    floor (53770.5)     		tx = 53770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105571746826172 × 217)
    floor (0.105571746826172 × 131072)
    floor (13837.5)     		ty = 13837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53770 / 13837 ti = "17/53770/13837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53770/13837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53770 ÷ 217
    53770 ÷ 131072     		x = 0.410232543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13837 ÷ 217
    13837 ÷ 131072     		y = 0.105567932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410232543945312 × 2 - 1) × π
    -0.179534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56402556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105567932128906 × 2 - 1) × π
    0.788864135742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.47828977345728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56402556} λ = -0.56402556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47828977345728))-π/2
    2×atan(11.9208596038888)-π/2
    2×1.48710570084221-π/2
    2.97421140168443-1.57079632675     		φ = 1.40341507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56402556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.316284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40341507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.409760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53770 KachelY 13837 -0.56402556 1.40341507 -32.316284 80.409760
    Oben rechts KachelX + 1 53771 KachelY 13837 -0.56397762 1.40341507 -32.313537 80.409760
    Unten links KachelX 53770 KachelY + 1 13838 -0.56402556 1.40340709 -32.316284 80.409303
    Unten rechts KachelX + 1 53771 KachelY + 1 13838 -0.56397762 1.40340709 -32.313537 80.409303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40341507-1.40340709) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dl = 50.8405800008254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40341507-1.40340709) × R
    7.98000000012955e-06 × 6371000     		dr = 50.8405800008254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56402556--0.56397762) × cos(1.40341507) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.166600778495217 × 6371000     		do = 50.8841660565622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56402556--0.56397762) × cos(1.40340709) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.16660864696488 × 6371000     		du = 50.8865692897318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40341507)-sin(1.40340709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166600778495217-0.16660864696488)×R²
    abs(-0.56397762--0.56402556)×7.86846966321919e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.86846966321919e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.86846966321919e-06×40589641000000     		ar = 2587.04160605478m²