Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5377 / 7938
↖ ↑ ↗
← N 67.600849°
W120.926514°		 ← 465.51 m → N 67.600849°
W120.915527°		 →
↑
465.59 m
↓
↑
465.59 m
↓
N 67.596662°
W120.926514°		 ← 465.60 m →
216 759 m²		 N 67.596662°
W120.915527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.164108276367188 y=0.242263793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.164108276367188 × 215)
    floor (0.164108276367188 × 32768)
    floor (5377.5)     		tx = 5377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242263793945312 × 215)
    floor (0.242263793945312 × 32768)
    floor (7938.5)     		ty = 7938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5377 / 7938 ti = "15/5377/7938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5377/7938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5377 ÷ 215
    5377 ÷ 32768     		x = 0.164093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7938 ÷ 215
    7938 ÷ 32768     		y = 0.24224853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.164093017578125 × 2 - 1) × π
    -0.67181396484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.11056582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24224853515625 × 2 - 1) × π
    0.5155029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61950021676398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.11056582} λ = -2.11056582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61950021676398))-π/2
    2×atan(5.05056549771716)-π/2
    2×1.37532686177077-π/2
    2.75065372354154-1.57079632675     		φ = 1.17985740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.11056582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.926514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17985740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.600849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5377 KachelY 7938 -2.11056582 1.17985740 -120.926514 67.600849
    Oben rechts KachelX + 1 5378 KachelY 7938 -2.11037407 1.17985740 -120.915527 67.600849
    Unten links KachelX 5377 KachelY + 1 7939 -2.11056582 1.17978432 -120.926514 67.596662
    Unten rechts KachelX + 1 5378 KachelY + 1 7939 -2.11037407 1.17978432 -120.915527 67.596662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17985740-1.17978432) × R
    7.30799999999476e-05 × 6371000     		dl = 465.592679999666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17985740-1.17978432) × R
    7.30799999999476e-05 × 6371000     		dr = 465.592679999666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.11056582--2.11037407) × cos(1.17985740) × R
    0.000191749999999935 × 0.381056669310797 × 6371000     		do = 465.513783704182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.11056582--2.11037407) × cos(1.17978432) × R
    0.000191749999999935 × 0.381124234530188 × 6371000     		du = 465.596324028125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17985740)-sin(1.17978432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381056669310797-0.381124234530188)×R²
    abs(-2.11037407--2.11056582)×6.75652193907195e-05×R²
    0.000191749999999935×6.75652193907195e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.75652193907195e-05×40589641000000     		ar = 216759.025313653m²