Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53768 / 21160
↖ ↑ ↗
← N 53.618579°
E115.356445°		 ← 362.33 m → N 53.618579°
E115.361939°		 →
↑
362.32 m
↓
↑
362.32 m
↓
N 53.615321°
E115.356445°		 ← 362.36 m →
131 285 m²		 N 53.615321°
E115.361939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820442199707031 y=0.322883605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820442199707031 × 216)
    floor (0.820442199707031 × 65536)
    floor (53768.5)     		tx = 53768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322883605957031 × 216)
    floor (0.322883605957031 × 65536)
    floor (21160.5)     		ty = 21160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53768 / 21160 ti = "16/53768/21160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53768/21160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53768 ÷ 216
    53768 ÷ 65536     		x = 0.8204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21160 ÷ 216
    21160 ÷ 65536     		y = 0.3228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8204345703125 × 2 - 1) × π
    0.640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01334978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3228759765625 × 2 - 1) × π
    0.354248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11290306157922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01334978} λ = 2.01334978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11290306157922))-π/2
    2×atan(3.04318012252247)-π/2
    2×1.25330853846767-π/2
    2.50661707693534-1.57079632675     		φ = 0.93582075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01334978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93582075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.618579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53768 KachelY 21160 2.01334978 0.93582075 115.356445 53.618579
    Oben rechts KachelX + 1 53769 KachelY 21160 2.01344566 0.93582075 115.361939 53.618579
    Unten links KachelX 53768 KachelY + 1 21161 2.01334978 0.93576388 115.356445 53.615321
    Unten rechts KachelX + 1 53769 KachelY + 1 21161 2.01344566 0.93576388 115.361939 53.615321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93582075-0.93576388) × R
    5.68699999999867e-05 × 6371000     		dl = 362.318769999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93582075-0.93576388) × R
    5.68699999999867e-05 × 6371000     		dr = 362.318769999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01334978-2.01344566) × cos(0.93582075) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.593157851747736 × 6371000     		do = 362.331351613487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01334978-2.01344566) × cos(0.93576388) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.593203636039774 × 6371000     		du = 362.35931901604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93582075)-sin(0.93576388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593157851747736-0.593203636039774)×R²
    abs(2.01344566-2.01334978)×4.57842920380536e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.57842920380536e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.57842920380536e-05×40589641000000     		ar = 131284.516242107m²