Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53767 / 13839
↖ ↑ ↗
← N 80.408845°
W 32.324524°		 ← 50.89 m → N 80.408845°
W 32.321777°		 →
↑
50.90 m
↓
↑
50.90 m
↓
N 80.408388°
W 32.324524°		 ← 50.89 m →
2 591 m²		 N 80.408388°
W 32.321777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410213470458984 y=0.105587005615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410213470458984 × 217)
    floor (0.410213470458984 × 131072)
    floor (53767.5)     		tx = 53767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105587005615234 × 217)
    floor (0.105587005615234 × 131072)
    floor (13839.5)     		ty = 13839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53767 / 13839 ti = "17/53767/13839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53767/13839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53767 ÷ 217
    53767 ÷ 131072     		x = 0.410209655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13839 ÷ 217
    13839 ÷ 131072     		y = 0.105583190917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410209655761719 × 2 - 1) × π
    -0.179580688476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.56416937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105583190917969 × 2 - 1) × π
    0.788833618164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.47819389965804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56416937} λ = -0.56416937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47819389965804))-π/2
    2×atan(11.9197167605736)-π/2
    2×1.48709771414015-π/2
    2.9741954282803-1.57079632675     		φ = 1.40339910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56416937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.324524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40339910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.408845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53767 KachelY 13839 -0.56416937 1.40339910 -32.324524 80.408845
    Oben rechts KachelX + 1 53768 KachelY 13839 -0.56412143 1.40339910 -32.321777 80.408845
    Unten links KachelX 53767 KachelY + 1 13840 -0.56416937 1.40339111 -32.324524 80.408388
    Unten rechts KachelX + 1 53768 KachelY + 1 13840 -0.56412143 1.40339111 -32.321777 80.408388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40339910-1.40339111) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dl = 50.9042899990235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40339910-1.40339111) × R
    7.98999999984673e-06 × 6371000     		dr = 50.9042899990235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56416937--0.56412143) × cos(1.40339910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166616525284151 × 6371000     		do = 50.8889755311073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56416937--0.56412143) × cos(1.40339111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.166624403592785 × 6371000     		du = 50.8913817693518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40339910)-sin(1.40339111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166616525284151-0.166624403592785)×R²
    abs(-0.56412143--0.56416937)×7.87830863413497e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.87830863413497e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.87830863413497e-06×40589641000000     		ar = 2590.52841201467m²