Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53766 / 21198
↖ ↑ ↗
← N 53.494582°
E115.345459°		 ← 363.36 m → N 53.494582°
E115.350952°		 →
↑
363.34 m
↓
↑
363.34 m
↓
N 53.491314°
E115.345459°		 ← 363.38 m →
132 027 m²		 N 53.491314°
E115.350952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820411682128906 y=0.323463439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820411682128906 × 216)
    floor (0.820411682128906 × 65536)
    floor (53766.5)     		tx = 53766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323463439941406 × 216)
    floor (0.323463439941406 × 65536)
    floor (21198.5)     		ty = 21198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53766 / 21198 ti = "16/53766/21198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53766/21198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53766 ÷ 216
    53766 ÷ 65536     		x = 0.820404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21198 ÷ 216
    21198 ÷ 65536     		y = 0.323455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820404052734375 × 2 - 1) × π
    0.64080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01315804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323455810546875 × 2 - 1) × π
    0.35308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1092598572081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01315804} λ = 2.01315804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1092598572081))-π/2
    2×atan(3.03211336686497)-π/2
    2×1.25222645552211-π/2
    2.50445291104421-1.57079632675     		φ = 0.93365658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01315804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93365658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.494582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53766 KachelY 21198 2.01315804 0.93365658 115.345459 53.494582
    Oben rechts KachelX + 1 53767 KachelY 21198 2.01325391 0.93365658 115.350952 53.494582
    Unten links KachelX 53766 KachelY + 1 21199 2.01315804 0.93359955 115.345459 53.491314
    Unten rechts KachelX + 1 53767 KachelY + 1 21199 2.01325391 0.93359955 115.350952 53.491314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93365658-0.93359955) × R
    5.70300000000135e-05 × 6371000     		dl = 363.338130000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93365658-0.93359955) × R
    5.70300000000135e-05 × 6371000     		dr = 363.338130000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01315804-2.01325391) × cos(0.93365658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59489880468752 × 6371000     		do = 363.356914290748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01315804-2.01325391) × cos(0.93359955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.594944644468553 × 6371000     		du = 363.384912668382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93365658)-sin(0.93359955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59489880468752-0.594944644468553)×R²
    abs(2.01325391-2.01315804)×4.5839781032897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5839781032897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5839781032897e-05×40589641000000     		ar = 132026.508236091m²