Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53766 / 21158
↖ ↑ ↗
← N 53.625096°
E115.345459°		 ← 362.24 m → N 53.625096°
E115.350952°		 →
↑
362.26 m
↓
↑
362.26 m
↓
N 53.621838°
E115.345459°		 ← 362.27 m →
131 227 m²		 N 53.621838°
E115.350952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820411682128906 y=0.322853088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820411682128906 × 216)
    floor (0.820411682128906 × 65536)
    floor (53766.5)     		tx = 53766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322853088378906 × 216)
    floor (0.322853088378906 × 65536)
    floor (21158.5)     		ty = 21158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53766 / 21158 ti = "16/53766/21158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53766/21158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53766 ÷ 216
    53766 ÷ 65536     		x = 0.820404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21158 ÷ 216
    21158 ÷ 65536     		y = 0.322845458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820404052734375 × 2 - 1) × π
    0.64080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01315804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322845458984375 × 2 - 1) × π
    0.35430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1130948091777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01315804} λ = 2.01315804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1130948091777))-π/2
    2×atan(3.0437637009508)-π/2
    2×1.25336540237508-π/2
    2.50673080475017-1.57079632675     		φ = 0.93593448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01315804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93593448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.625096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53766 KachelY 21158 2.01315804 0.93593448 115.345459 53.625096
    Oben rechts KachelX + 1 53767 KachelY 21158 2.01325391 0.93593448 115.350952 53.625096
    Unten links KachelX 53766 KachelY + 1 21159 2.01315804 0.93587762 115.345459 53.621838
    Unten rechts KachelX + 1 53767 KachelY + 1 21159 2.01325391 0.93587762 115.350952 53.621838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93593448-0.93587762) × R
    5.68600000000474e-05 × 6371000     		dl = 362.255060000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93593448-0.93587762) × R
    5.68600000000474e-05 × 6371000     		dr = 362.255060000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01315804-2.01325391) × cos(0.93593448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.593066285460176 × 6371000     		do = 362.237633958397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01315804-2.01325391) × cos(0.93587762) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.593112065537309 × 6371000     		du = 362.265595869619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93593448)-sin(0.93587762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593066285460176-0.593112065537309)×R²
    abs(2.01325391-2.01315804)×4.57800771321848e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57800771321848e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57800771321848e-05×40589641000000     		ar = 131227.480531605m²