Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53763 / 21197
↖ ↑ ↗
← N 53.497850°
E115.328980°		 ← 363.33 m → N 53.497850°
E115.334473°		 →
↑
363.40 m
↓
↑
363.40 m
↓
N 53.494582°
E115.328980°		 ← 363.36 m →
132 039 m²		 N 53.494582°
E115.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820365905761719 y=0.323448181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820365905761719 × 216)
    floor (0.820365905761719 × 65536)
    floor (53763.5)     		tx = 53763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323448181152344 × 216)
    floor (0.323448181152344 × 65536)
    floor (21197.5)     		ty = 21197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53763 / 21197 ti = "16/53763/21197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53763/21197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53763 ÷ 216
    53763 ÷ 65536     		x = 0.820358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21197 ÷ 216
    21197 ÷ 65536     		y = 0.323440551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820358276367188 × 2 - 1) × π
    0.640716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01287042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323440551757812 × 2 - 1) × π
    0.353118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10935573100734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01287042} λ = 2.01287042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10935573100734))-π/2
    2×atan(3.03240408102889)-π/2
    2×1.25225497202741-π/2
    2.50450994405482-1.57079632675     		φ = 0.93371362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01287042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.328980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93371362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.497850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53763 KachelY 21197 2.01287042 0.93371362 115.328980 53.497850
    Oben rechts KachelX + 1 53764 KachelY 21197 2.01296629 0.93371362 115.334473 53.497850
    Unten links KachelX 53763 KachelY + 1 21198 2.01287042 0.93365658 115.328980 53.494582
    Unten rechts KachelX + 1 53764 KachelY + 1 21198 2.01296629 0.93365658 115.334473 53.494582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93371362-0.93365658) × R
    5.70400000000637e-05 × 6371000     		dl = 363.401840000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93371362-0.93365658) × R
    5.70400000000637e-05 × 6371000     		dr = 363.401840000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01287042-2.01296629) × cos(0.93371362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59485295493328 × 6371000     		do = 363.328909821601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01287042-2.01296629) × cos(0.93365658) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59489880468752 × 6371000     		du = 363.356914290748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93371362)-sin(0.93365658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59485295493328-0.59489880468752)×R²
    abs(2.01296629-2.01287042)×4.58497542394909e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58497542394909e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58497542394909e-05×40589641000000     		ar = 132039.482828084m²