Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53763 / 21133
↖ ↑ ↗
← N 53.706462°
E115.328980°		 ← 361.54 m → N 53.706462°
E115.334473°		 →
↑
361.55 m
↓
↑
361.55 m
↓
N 53.703210°
E115.328980°		 ← 361.57 m →
130 721 m²		 N 53.703210°
E115.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820365905761719 y=0.322471618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820365905761719 × 216)
    floor (0.820365905761719 × 65536)
    floor (53763.5)     		tx = 53763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322471618652344 × 216)
    floor (0.322471618652344 × 65536)
    floor (21133.5)     		ty = 21133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53763 / 21133 ti = "16/53763/21133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53763/21133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53763 ÷ 216
    53763 ÷ 65536     		x = 0.820358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21133 ÷ 216
    21133 ÷ 65536     		y = 0.322463989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.820358276367188 × 2 - 1) × π
    0.640716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01287042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322463989257812 × 2 - 1) × π
    0.355072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11549165415871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01287042} λ = 2.01287042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11549165415871))-π/2
    2×atan(3.05106788069727)-π/2
    2×1.2540754607471-π/2
    2.50815092149421-1.57079632675     		φ = 0.93735459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01287042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.328980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93735459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.706462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53763 KachelY 21133 2.01287042 0.93735459 115.328980 53.706462
    Oben rechts KachelX + 1 53764 KachelY 21133 2.01296629 0.93735459 115.334473 53.706462
    Unten links KachelX 53763 KachelY + 1 21134 2.01287042 0.93729784 115.328980 53.703210
    Unten rechts KachelX + 1 53764 KachelY + 1 21134 2.01296629 0.93729784 115.334473 53.703210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93735459-0.93729784) × R
    5.67499999999388e-05 × 6371000     		dl = 361.55424999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93735459-0.93729784) × R
    5.67499999999388e-05 × 6371000     		dr = 361.55424999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01287042-2.01296629) × cos(0.93735459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591922281089433 × 6371000     		do = 361.53889007992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01287042-2.01296629) × cos(0.93729784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.591968020355072 × 6371000     		du = 361.566827063981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93735459)-sin(0.93729784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591922281089433-0.591968020355072)×R²
    abs(2.01296629-2.01287042)×4.57392656384448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.57392656384448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.57392656384448e-05×40589641000000     		ar = 130720.972651516m²