Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53761 / 12797
↖ ↑ ↗
← N 80.874134°
W 32.341003°		 ← 48.43 m → N 80.874134°
W 32.338257°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
N 80.873699°
W 32.341003°		 ← 48.43 m →
2 345 m²		 N 80.873699°
W 32.338257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410167694091797 y=0.0976371765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410167694091797 × 217)
    floor (0.410167694091797 × 131072)
    floor (53761.5)     		tx = 53761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976371765136719 × 217)
    floor (0.0976371765136719 × 131072)
    floor (12797.5)     		ty = 12797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53761 / 12797 ti = "17/53761/12797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53761/12797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53761 ÷ 217
    53761 ÷ 131072     		x = 0.410163879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12797 ÷ 217
    12797 ÷ 131072     		y = 0.0976333618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410163879394531 × 2 - 1) × π
    -0.179672241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.56445699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0976333618164062 × 2 - 1) × π
    0.804733276367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.52814414906214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56445699} λ = -0.56445699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52814414906214))-π/2
    2×atan(12.5302303054482)-π/2
    2×1.49115812381363-π/2
    2.98231624762727-1.57079632675     		φ = 1.41151992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56445699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.341003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41151992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.874134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53761 KachelY 12797 -0.56445699 1.41151992 -32.341003 80.874134
    Oben rechts KachelX + 1 53762 KachelY 12797 -0.56440906 1.41151992 -32.338257 80.874134
    Unten links KachelX 53761 KachelY + 1 12798 -0.56445699 1.41151232 -32.341003 80.873699
    Unten rechts KachelX + 1 53762 KachelY + 1 12798 -0.56440906 1.41151232 -32.338257 80.873699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41151992-1.41151232) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41151992-1.41151232) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56445699--0.56440906) × cos(1.41151992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158603814013961 × 6371000     		do = 48.4315826130752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56445699--0.56440906) × cos(1.41151232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15861131781091 × 6371000     		du = 48.4338739877442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41151992)-sin(1.41151232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158603814013961-0.15861131781091)×R²
    abs(-0.56440906--0.56445699)×7.50379694874903e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.50379694874903e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.50379694874903e-06×40589641000000     		ar = 2345.09333141559m²